Оглавление
- 1 Энтропия фон Неймана
- 1.1 Энтропия фон Неймана
- 1.2 Формула энтропии фон Неймана
- 1.3 Свойства энтропии фон Неймана
- 1.4 Субаддитивность и сильная субаддитивность
- 1.5 Минимальная энтропия Шеннона
- 1.6 Количество отверстий χ
- 1.7 Изменение в процессе эволюции во времени
- 1.8 Унитарная эволюция и энтропия
- 1.9 Измерение и POVM
- 1.10 Правило Людерса
- 1.11 Квантовые каналы
- 1.12 Термодинамический смысл
- 1.13 Обобщения и производные величины
- 1.14 Меры по устранению запутанности
- 1.15 Квантовые энтропии Реньи
- 1.16 Мотивация Ландау и фон Неймана
- 1.17 Энтропия фон Неймана
- 1.18 Аргументация фон Неймана
- 1.19 Неравенства субаддитивности и треугольника
- 1.20 Сильная субаддитивность
- 1.21 Полный текст статьи:
- 2 Энтропия фон Неймана — Arc.Ask3.Ru
Энтропия фон Неймана
-
Энтропия фон Неймана
- Мера статистической неопределенности в квантовой системе
- Расширяет концепцию энтропии Гиббса
- Квантовый аналог энтропии Шеннона
-
Формула энтропии фон Неймана
- S = −tr(ρ ln ρ)
- S = −∑j ηj ln ηj для матрицы плотности в базисе собственных векторов
-
Свойства энтропии фон Неймана
- S(ρ) = 0 для чистого состояния
- S(ρ) максимальна для максимально смешанного состояния
- S(ρ) инвариантно относительно изменений в базисе
- S(ρ) вогнута
- S(ρ) аддитивна для независимых систем
- S(ρ) сильно субаддитивна
-
Субаддитивность и сильная субаддитивность
- S(ρAB) ≤ S(ρA) + S(ρB)
- S(ρABC) + S(ρB) ≤ S(ρAB) + S(ρBC)
-
Минимальная энтропия Шеннона
- Энтропия фон Неймана минимальна для POVM ранга 1
-
Количество отверстий χ
- Разница между энтропией фон Неймана и средневзвешенным значением ограничена энтропией Шеннона
- Равенство достигается при ортогональности опор pi
-
Изменение в процессе эволюции во времени
- Эволюция описывается унитарным оператором
-
Унитарная эволюция и энтропия
- Унитарная эволюция переводит чистые состояния в чистые состояния и оставляет энтропию фон Неймана неизменной.
- Энтропия фон Неймана является функцией собственных значений матрицы плотности.
-
Измерение и POVM
- Измерение квантовой системы приводит к изменению состояния.
- POVM не предоставляет полной информации для описания изменения состояния.
- Операторы Kraus содержат спецификацию процесса изменения состояния.
-
Правило Людерса
- Если элементы POVM являются проекционными операторами, операторы Kraus можно считать проекторами.
- Для чистых состояний и проекторов с рангом 1 формула упрощается.
-
Квантовые каналы
- Линейная, сохраняющая следы, полностью достоверная карта создается суммированием всех возможных состояний POVM.
- Каналы, определенные проективными измерениями, не могут уменьшить энтропию фон Неймана.
-
Термодинамический смысл
- Квантовая версия канонического распределения определяется максимизацией энтропии фон Неймана при фиксированном ожидаемом значении гамильтониана.
- Энтропия фон Неймана состояния Гиббса равна термодинамической энтропии.
-
Обобщения и производные величины
- Условная энтропия фон Неймана ограничена сверху энтропией предельного состояния.
- Квантовая взаимная информация определяется как разница между энтропией совместного состояния и общей энтропией маргиналов.
- Относительная энтропия всегда больше или равна нулю и монотонна.
-
Меры по устранению запутанности
- Запутанность можно рассматривать как потенциальную корреляцию, которая может быть использована для создания реальной корреляции.
- Энтропия запутанности является уникальной мерой запутанности для двудольных чистых состояний.
- Для смешанных состояний существуют другие меры запутанности, такие как относительная энтропия запутанности и запутанность образования.
-
Квантовые энтропии Реньи
- Энтропия фон Неймана может быть обобщена на квантовые энтропии Реньи.
- Все квантовые энтропии Реньи являются аддитивными для состояний продукта и максимизируются при максимально смешанном состоянии.
- Слабая версия субаддитивности может быть доказана.
-
Мотивация Ландау и фон Неймана
- Ландау не смог описать подсистему сложной квантовой системы вектором состояния
- Фон Нейман ввел матрицу плотности для развития квантовой статистической механики и теории квантовых измерений
-
Энтропия фон Неймана
- Фон Нейман ввел выражение, известное как энтропия фон Неймана
- Утверждал, что вероятностная комбинация чистых состояний аналогична смеси идеальных газов
- Впервые опубликовал статью на эту тему в 1927 году
-
Аргументация фон Неймана
- Основана на работах Альберта Эйнштейна и Лео Сциларда
-
Неравенства субаддитивности и треугольника
- Доказаны Хузихиро Араки и Эллиотом Х. Либом в 1970 году
-
Сильная субаддитивность
- Предложена Оскаром Лэнфордом и Дереком Робинсоном в 1968 году
- Доказана Либом и Мэри Бет Рускай в 1973 году с использованием матричного неравенства, доказанного Либом ранее