Euclidean domain
-
Определение и свойства
- Евклидова область (Евклидово кольцо) — это интегральная область, которая может быть снабжена евклидовой функцией.
- Евклидова функция позволяет обобщить алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя.
- Евклидовы области являются уникальными факторными областями и обладают свойствами, аналогичными полям.
-
Примеры и обобщения
- Примеры Евклидовых областей включают поля, кольца целых чисел, кольца многочленов и формальных степенных рядов.
- Евклидовы области могут быть обобщены на дискретные valuation-кольца и Dedekind-домены.
-
Различия с другими областями
- Евклидовы области отличаются от других областей, таких как кольца многочленов с несколькими переменными или кольца чисел с иррациональными корнями.
- Евклидовы области не являются единственными, так как существуют другие области, такие как кольца целых чисел с иррациональными корнями, которые являются уникальными факторными областями.
-
Свойства Евклидовых областей
- В Евклидовых областях существует алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя и линейной комбинации элементов.
- Евклидовы области имеют элементы, которые могут быть выражены как линейные комбинации других элементов.
-
Приложения и гипотезы
- Евклидовы области важны в компьютерной алгебре для нахождения наибольшего общего делителя и линейных комбинаций.
- Гипотеза о расширенном Римане утверждает, что если кольцо целых чисел конечного расширения Q является PID с бесконечным числом единиц, то оно является Евклидовым.
-
Евклидовы поля
- Евклидовы поля — это поля, в которых кольцо целых чисел является евклидовым.
- Евклидовы поля могут быть норма-евклидовыми или просто евклидовыми.
- Норма-евклидовы поля имеют каноническую норму, которая удовлетворяет аксиомам евклидовой функции.
-
Классификация полей
- Поля могут быть разделены на несколько классов по их евклидовости.
- Поля могут быть неевклидовыми, но норма-евклидовыми.
- Поля могут быть евклидовыми, но не норма-евклидовыми.
-
Примеры полей
- Поля Q(√-5) и Q(√-19) неевклидовы, но норма-евклидовы.
- Поля Q(√69) и Q(√-1) евклидовы, но не норма-евклидовы.
- Поля Q(√-1) и Q(√-1) норма-евклидовы и являются квадратичными полями.
-
Норма-евклидовы квадратичные поля
- Норма-евклидовы квадратичные поля полностью классифицированы.
- Они включают поля Q(√d) для различных значений d.
- Все евклидовы мнимые квадратичные поля норма-евклидовы и входят в этот список.