Фокус (геометрия)
-
Фокусы в геометрии
- Фокусы используются для определения конических сечений
- Эллипс определяется как расположение точек с постоянной суммой расстояний до двух фокусов
- Круг – частный случай эллипса с совпадающими фокусами
- Парабола – предельный случай эллипса с фокусом на бесконечности
- Гипербола определяется как расположение точек с постоянной разницей расстояний до двух фокусов
-
Конические сечения через фокус и директрису
- Конические сечения можно описать через фокус и директрису
- Эллипс имеет эксцентриситет 0 < e < 1, парабола – e = 1, гипербола – e > 1
- Окружность – это коническая окружность с e = 0
-
Конические сечения через фокус и окружность директрисы
- Эллипс имеет фокус внутри окружности директрисы
- Парабола имеет центр директрисы на бесконечности
- Гипербола имеет фокус за пределами окружности директрисы
-
Астрономическое значение
- Орбиты тел описываются коническими сечениями с фокусом в барицентре
- Харон и Плутон движутся по эллипсам с фокусом в барицентре
- Луна и Земля движутся по эллипсам с фокусом в барицентре внутри Земли
-
Декартовы овалы и овалы Кассини
- Декартов овал – это точки с постоянной взвешенной суммой расстояний до двух фокусов
- Овал Кассини – это точки с постоянным произведением расстояний до двух фокусов
-
Обобщения
- n-эллипс – это точки с постоянной суммой расстояний до n фокусов
- Фокусы могут быть обобщены на произвольные алгебраические кривые
-
Конфокальные кривые
- Фокусы кривой определяются через касательные к кривым
- Тангенциальное уравнение кривой имеет вид P + fQ = 0, где P и Q – произведения тангенциальных уравнений фокусов и круговых точек на бесконечности