Оглавление
- 1 Формулировка фазового пространства
- 1.1 Формулировка фазового пространства
- 1.2 История и развитие
- 1.3 Распределение в фазовом пространстве
- 1.4 Звездный продукт
- 1.5 Эволюция во времени
- 1.6 Примеры
- 1.7 Эволюция распределения Вигнера
- 1.8 Собственные функции
- 1.9 Угловой момент свободной частицы
- 1.10 Потенциал азбуки Морзе
- 1.11 Квантовое туннелирование
- 1.12 Квартичный потенциал
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Формулировка фазового пространства – Википедия
Формулировка фазового пространства
-
Формулировка фазового пространства
- Уравнивает переменные положения и импульса в фазовом пространстве
- Квантовое состояние описывается распределением квазивероятности
- Операторное умножение заменяется звездообразным произведением
-
История и развитие
- Разработана Хилбрандом Груневольдом и Джо Мойалом
- Основана на идеях Германа Вейля и Юджина Вигнера
- Избегает операторного формализма, делая квантовую механику похожей на гамильтонову механику
-
Распределение в фазовом пространстве
- Распределение f(x, p) описывает квантовое состояние
- Существует несколько представлений, наиболее распространено представление Вигнера
- Распределение обладает свойствами, сходными с плотностью вероятности
-
Звездный продукт
- Основной некоммутативный бинарный оператор
- Определяется через звездообразное произведение
- Используется для решения уравнений ★-genvalue
-
Эволюция во времени
- Временная эволюция задается квантовой модификацией потока Лиувилля
- Уравнение ★-genvalue сводится к классическому уравнению Лиувилля в пределе θ → 0
- Квантовая траектория является деликатным вопросом из-за принципа неопределенности
-
Примеры
- Простой гармонический генератор: гамильтониан и уравнение ★-genvalue
-
Эволюция распределения Вигнера
- Начальное распределение Вигнера эволюционирует по уравнению эволюции, управляемому гамильтонианом генератора.
- “Всплеск” энергии может выглядеть как классический объект в фазовом пространстве.
- Интегрирование по всем фазам дает независимую от времени конфигурацию.
-
Собственные функции
- Собственные функции являются вращательно-симметричными и не зависят от времени.
- Они удовлетворяют условию W⋆W = (2πℏ)−1W.
-
Угловой момент свободной частицы
- Частица в минимально неопределенном гауссовом состоянии имеет функцию Вигнера.
- Положение и импульс становятся коррелирующими по мере эволюции.
- Кинетическая энергия становится радиальной в соответствии с квантово-механическим понятием ненулевого момента импульса.
-
Потенциал азбуки Морзе
- Используется для аппроксимации колебательной структуры двухатомной молекулы.
-
Квантовое туннелирование
- Квантовая частица может проходить через барьер, не обладая достаточной энергией.
- Эффект не существует в классической механике.
-
Квартичный потенциал
- Состояние кота Шредингера.