Оглавление
Функция высоты
-
Функции высоты в диофантовой геометрии
- Функции высоты количественно определяют сложность математических объектов.
- В диофантовой геометрии функции высоты определяют размер решений диофантовых уравнений.
- Функции высоты обычно представляют собой функции от множества точек на алгебраических многообразиях до действительных чисел.
-
Значимость функций высоты
- Функции высоты позволяют математикам подсчитывать объекты, такие как рациональные точки.
- Набор рациональных чисел наивной высоты ниже любой заданной константы конечен, несмотря на бесконечность набора рациональных чисел.
- Функции высоты могут быть использованы для доказательства асимптотических результатов, таких как теорема Бейкера.
-
История функций высоты
- Ранняя форма функции высоты была предложена Джамбаттистой Бенедетти.
- Высоты в диофантовой геометрии были разработаны Андре Вейлем и Дугласом Норткоттом в начале 1920-х годов.
- В 1960-х годах были введены высота Нерона-Тейта и высота Аракелова.
- В 1983 году Фалтингс разработал теорию высот Фалтингса.
-
Функции высоты в диофантовой геометрии
- Наивная высота определяется как логарифм максимального абсолютного значения вектора взаимно простых целых чисел.
- Высота Нерона-Тейта представляет собой квадратичную форму группы рациональных точек Морделла-Вейля.
- Высота выступа определяется как высота метризованного линейного пучка.
- Высота Аракелова — это глобальная функция высоты с локальными вкладами.
- Высота Фальтингса абелева многообразия — мера его арифметической сложности.
-
Функции высоты в алгебре
- Высота многочлена определяется как максимальная из величин его коэффициентов.
- Малеровская мера также является мерой сложности многочлена.
- Функции высоты в автоморфных формах связаны с умеренным ростом.
-
Другие функции высоты
- Высота неприводимого рационального числа равна |p| + q.
- Функции высоты используются для доказательства гипотез и теорем в различных областях математики.