Гамильтонова система
-
Основы гамильтоновой системы
- Гамильтонова система описывает эволюцию физических систем, таких как планетные системы и электроны в электромагнитном поле.
- Она может быть изучена в рамках гамильтоновой механики и теории динамических систем.
-
Описание гамильтоновой системы
- Гамильтонова система характеризуется скалярной функцией H(q, p, t), известной как гамильтониан.
- Состояние системы описывается обобщенными координатами p и q, которые являются векторами с одинаковой размерностью.
- Эволюционные уравнения задаются уравнениями Гамильтона, а траектория определяется начальным условием и гамильтонианом.
-
Независимые от времени гамильтоновы системы
- Если гамильтониан не зависит от времени, то он является постоянной движения, равной полной энергии системы.
- Примерами таких систем являются незатухающий маятник и генератор гармонических колебаний.
-
Симплектическая структура гамильтоновой системы
- Гамильтонова система имеет симплектическую структуру, что означает сохранение бесконечно малого объема фазового пространства.
- Это свойство приводит к теореме Лиувилля о сохранении объема фазового пространства замкнутой поверхности.
-
Гамильтонов хаос
- Некоторые гамильтоновы системы демонстрируют хаотическое поведение, известное как гамильтонов хаос.
- Пуанкаре показал, что система трех тел может демонстрировать сложное поведение, которое невозможно предсказать.
- Гамильтонов хаос характеризуется чувствительностью к начальным условиям, перемешиванием фаз и рекуррентностью Пуанкаре.
-
Приложения гамильтонова хаоса
- Гамильтонов хаос широко применяется в физике плазмы, астрофизике, квантовой механике и астрофизике.
- Он играет важную роль в изучении динамики звездных скоплений и стабильности галактических структур.
-
Примеры гамильтонова хаоса
- Динамичный бильярд и проблема n-тел являются примерами гамильтонова хаоса.
-
Рекомендации и дальнейшее чтение
- Статья предлагает список литературы для углубленного изучения гамильтоновой системы и хаоса.
Полный текст статьи: