Оглавление
Гиперпокрытие
-
Определение гиперпокрытия
- Гиперпокрытие — это симплициальный объект, обобщающий принцип Чеха покрытия.
- Для компактного пространства X и сжимаемых пересечений открытых множеств можно получить симплициальное множество, слабо эквивалентное X.
- Для топологии étale и других сайтов эти условия не выполняются.
-
Идея гиперпокрытия
- Вместо работы с n-пересечениями, гиперпокрытие позволяет попарным пересечениям быть закрытыми открытой крышкой U1, тройным пересечениям — U2 и так далее.
- Гиперпокрытия играют центральную роль в классической гомотопии и теории мотивационных гомотопий.
-
Формальное определение
- Гиперпокрытие — это полупростой объект U∙ из категории схем, такой, что U0 → X является элитной обложкой и Un+1 → (coskn U∙)n+1 — изысканная обложка для каждого n ≥ 0.
- Un+1 → (coskn U∙)n+1 — предел диаграммы с одной копией Uя для каждого i-размерной грани и морфизмами для каждого включения граней.
-
Свойства гиперпокрытий
- Теорема Вердье утверждает, что абелевы когомологии пучка этальных пучков можно вычислить как совокупность когомологий коцепей по всем гиперпокрытиям.
- Для локально нетеровой схемы X категория HR(X) из гиперпокрытий является кофильтрацией и дает прообъект в гомотопической категории симплициальных множеств.
- Геометрической реализацией является гомотопический тип Артина-Мазура.
-
Обобщение
- Э. Фридлендер использовал бисимплициальные гиперпокрытия для топологического типа étale.