Гипотеза о заполняющей области
-
Гипотеза о заполняющей области
- Гипотеза утверждает, что полусфера является минимальным заполнением для любой замкнутой кривой.
- Доказательство основано на изометрических свойствах финслеровых метрик и теореме Радемахера.
-
Финслеровы метрики и изометрические заполнения
- Финслерова метрика является обобщением римановой метрики, которое включает в себя неримановы метрики.
- Изометрическое заполнение — это поверхность, которая имеет ту же площадь, что и заданная кривая, но может иметь другую форму.
-
Доказательство для ориентируемых поверхностей
- Доказательство начинается с рассмотрения изометрического заполнения окружности и использования теоремы Радемахера для дифференцируемости функций расстояния.
- Ковекторы, соответствующие функциям расстояния, образуют выпуклый многоугольник, площадь которого ограничена снизу.
- Интеграл площади этого многоугольника равен площади полусферы, что доказывает гипотезу для ориентируемых поверхностей.
-
Неминимальность полусферы для рациональных заполнений
- Полусфера не является минимальным заполнением для всех рациональных заполнений, существуют финслеровы диски с меньшей площадью.
- Это следует из теоремы Иванова о том, что площадь Хаусдорфа всегда больше площади Холмса-Томпсона, и они равны только для римановых метрик.
-
Римановы поверхности первого рода и гиперэллиптичность
- Ориентируемые римановы поверхности первого рода не могут иметь площадь меньше полусферы.
- Доказательство использует формулу Герша для площадей метрик в конформных классах и доказывает гипотезу для гиперэллиптических поверхностей.
-
Почти плоские многообразия и минимизация объема
- Почти плоские многообразия являются минимизаторами объема, что означает, что они не могут быть заменены на другие многообразия с меньшим объемом.
- Если это утверждение верно для всех полушарий, то гипотеза о заполняющей области будет доказана.
-
Дополнительные замечания
- В статье упоминаются радиус заполнения, неравенство Пу и систолическая геометрия, но они не являются частью основного доказательства гипотезы о заполняющей области.