Оглавление
Гипотеза Виттена
-
Гипотеза Виттена
- Гипотеза о числах пересечений устойчивых классов в пространстве модулей кривых
- Введена Эдвардом Виттеном в 1991 году, доказана Максимом Концевичем в 1992 году
- Мотивация: две модели двумерной квантовой гравитации должны иметь одинаковую статистическую сумму
-
Определение и доказательство
- Mg, n – набор модулей компактных римановых поверхностей рода g с n точками
- Индекс пересечения 〈td1, …, tdn〉 – индекс пересечения Π c1(Li)di на Mg,n
- Производящая функция Виттена кодирует индексы пересечения
- Гипотеза Виттена утверждает, что статистическая сумма Z = exp F является τ-функцией для иерархии KdV
- Концевич использовал комбинаторное описание пространств модулей в терминах ленточных графов
- F(t0,…) – асимптотическое разложение при Λ стремится к бесконечности
- exp F является τ-функцией для иерархии KdV, что доказывает гипотезу Виттена
-
Обобщения и исследования
- Гипотеза Виттена является частным случаем более общей связи между интегрируемыми системами гамильтоновых PDE и геометрией двумерных топологических теорий поля
- Гипотеза Вирасоро является обобщением гипотезы Виттена
- Исследования и обобщения проводились Б. Дубровиным, Ю. Чжаном, А. Гивенталем, К. Телеманом и другими