Оглавление
Глобальный аспект
-
Определение глобальной размерности
- Глобальная размерность кольца A (gl dim A) — это неотрицательное целое число или бесконечность, являющееся гомологическим инвариантом.
- Определяется как вершина множества проективных измерений всех A-модулей.
-
Важность глобальной размерности
- Важное техническое понятие в теории размерностей нетеровых колец.
- Используется для характеристики регулярных коммутативных нетеровых локальных колец.
- Совпадает с измерением Крулля для регулярных колец.
-
Некоммутативные кольца
- Для некоммутативных колец рассматриваются правое и левое глобальные измерения.
- Для нетеровых колец правое и левое измерения совпадают с слабой глобальной размерностью.
-
Примеры
- Глобальная размерность кольца многочленов от n переменных равна n.
- Глобальная размерность кольца многочленов от одной переменной над нетеровым кольцом равна k + 1.
- Кольцо имеет нулевую глобальную размерность, если оно полупростое.
- Глобальный размер кольца меньше или равен единице, если оно наследственное.
-
Альтернативные характеристики
- Правильный глобальный размер может быть определен как вершина множества проективных размерностей циклических правильных A-модулей.
- Левое глобальное измерение аналогично, но с заменой “правого” на “левое”.
-
Теорема Серра
- Коммутативное нетерово локальное кольцо является регулярным тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность.
- В этом случае глобальная размерность совпадает с размерностью Крулля.
- Теорема открыла путь к применению гомологических методов в коммутативной алгебре.