Оглавление
- 1 Гомология Хохшильда
- 1.1 Определение гомологий Хохшильда
- 1.2 Комплекс Хохшильда
- 1.3 Связь с барным комплексом
- 1.4 Производное самопересечение
- 1.5 Гомологии функторов Хохшильда
- 1.6 Примеры вычислений
- 1.7 Кольца многочленов над рациональными числами
- 1.8 Коммутативная характеристика в случае p
- 1.9 Разрешение Fp как свободные дифференциальные градуированные алгебры
- 1.10 Комплекс Хохшильда
- 1.11 Алгебра разделенных степеней
- 1.12 Топологические гомологии Хохшильда
- 1.13 Применение топологических гомологий Хохшильда
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Гомологии Хохшильда
Гомология Хохшильда
-
Определение гомологий Хохшильда
- Гомологии Хохшильда определяются для ассоциативных алгебр над кольцами.
- Введены Герхардом Хохшильдом для алгебр над полем и расширены Анри Картаном и Сэмюэлем Эйленбергом.
-
Комплекс Хохшильда
- Комплекс Хохшильда строится на основе тензорного произведения алгебры с её противоположной алгеброй.
- Комплекс цепей задается формулой с граничным оператором, определяемым через карты граней.
-
Связь с барным комплексом
- Барный комплекс формально похож на комплекс Хохшильда.
- Комплекс Хохшильда может быть извлечен из барного комплекса.
-
Производное самопересечение
- Комплекс Хохшильда можно интерпретировать как производное самопересечение схемы.
- Гомология Хохшильда связана с дифференциалами Келера.
-
Гомологии функторов Хохшильда
- Симплициальный круг S1 является симплициальным объектом в категории конечных точечных множеств.
- Гомология Хохшильда функтора F определяется как гомология симплициального модуля, составленного с S1.
-
Примеры вычислений
- Гомологии Хохшильда коммутативных алгебр могут быть вычислены с помощью теорем, описывающих структуру групп гомологий.
- В случае гладких алгебр существует изоморфизм между гомологиями Хохшильда и дифференциалами Келера.
- Для неплоских алгебр используется комплекс кокасательных.
-
Кольца многочленов над рациональными числами
- Гомология Хохшильда кольца многочленов над Q с n генераторами изоморфна Q[x1, …, xn] ⊗ Λ(dx1, …, dxn).
-
Коммутативная характеристика в случае p
- В характерном случае p существует контрпример к теореме Хохшильда-Костанта-Розенберга.
-
Разрешение Fp как свободные дифференциальные градуированные алгебры
- Fp можно вычислить как свободные дифференциальные градуированные алгебры.
- Производное пересечение Fp ⊗ Z L Fp ≅ Fp[ε]/(ε2).
- Град (ε) = 1, дифференциал — нулевое отображение.
-
Комплекс Хохшильда
- Комплекс Хохшильда задается формулой Fp ⊗ Fp ⊗ Z L Fp L Fp.
- Для вычисления комплекса Хохшильда нужно решить Fp как алгебру.
- Структура алгебры Fp[ε]/(ε2) → Fp сил ε ↦ 0.
-
Алгебра разделенных степеней
- Алгебра разделенных степеней (Fp ⊗ Z L Fp) ⟨x⟩ = (Fp ⊗ Z L Fp)[x1, x2, …] / xixj = (i + j)x(i + j).
- dxi = ε ⋅ xi-1, степень xi = 2i.
- Тензорирование этой алгебры с Fp над Fp ⊗ Z L Fp дает HH∗(Fp) = Fp ⟨x⟩.
-
Топологические гомологии Хохшильда
- Конструкция комплекса Хохшильда может быть адаптирована к ∞-категориям.
- Топологические гомологии Хохшильда (THH(R)) определяются как THH(R) = THH(R) → HH(R).
- THH(R) имеет тенденцию давать более простые группы, чем HH(R).
-
Применение топологических гомологий Хохшильда
- Топологические гомологии Хохшильда используются в арифметической геометрии.
- Ларс Хессельхольт показал, что дзета-функция Хассе-Вейля может быть выражена через топологические гомологии Хохшильда.