Гомология (математика)
-
Определение гомологии
- Гомология — это изучение топологических пространств через изучение их цепей и связанных гомоморфизмов.
- Гомологии используются для изучения топологических пространств, таких как сферы, шары и торы, и их свойств.
-
Примеры гомологий
- Для сферы S2 гомологии Hk(S2) равны Z при k = 0,2 и 0 в противном случае.
- Для шара B2 все гомологии тривиальны, кроме H0(B2) = Z.
- Тор T2 имеет тривиальные гомологии при k = 0,2 и Z × Z при k = 1, в противном случае — 0.
- Для проективной плоскости P гомологии Hk(P) равны Z при k = 0 и Z2 при k = 1, в противном случае — 0.
-
Построение групп гомологий
- Цепной комплекс C(X) кодирует информацию о топологическом пространстве X и состоит из абелевых групп или модулей.
- Граничные операторы ∂n связывают группы Cn и Cn-1, а их композиция должна быть тривиальной.
- Элементы Bn(X) и Zn(X) являются границами и циклами соответственно, а группы Hn(X) являются классами гомологии.
- Точный цепной комплекс означает, что изображение (n+1)-й карты равно ядру n-й карты, и группы гомологии измеряют отклонение комплекса от точности.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.