Оглавление
- 1 Теория гомотопий
- 1.1 Теория гомотопий
- 1.2 Приложения в других областях математики
- 1.3 Пространства и карты
- 1.4 Гомотопия
- 1.5 Гомотопическая эквивалентность
- 1.6 Непрерывный комплекс
- 1.7 Совместное провяливание и расслоение
- 1.8 Подъемное свойство
- 1.9 Свойства подъема и RLP
- 1.10 Расслоения и кофибрации
- 1.11 Функторы цикла и приостановки
- 1.12 Классификация пространств и гомотопические операции
- 1.13 Спектр и обобщенные когомологии
- 1.14 Ключевые теоремы и аргументы
- 1.15 Локализация и завершение пространства
- 1.16 Гомотопическая гипотеза и абстрактная теория гомотопий
- 1.17 Симплициальное множество и симплициальная теория гомотопий
- 1.18 Полный текст статьи:
- 2 Гомотопическая теория
Теория гомотопий
-
Теория гомотопий
- Систематическое изучение ситуаций, в которых карты могут иметь гомотопии между собой
- Возникла как раздел алгебраической топологии, но теперь изучается как самостоятельная дисциплина
-
Приложения в других областях математики
- Используется в алгебраической геометрии и теории категорий
-
Пространства и карты
- Пространство — топологическое пространство с дополнительными ограничениями
- Карта — непрерывная функция с дополнительными ограничениями
- Заостренное пространство — пространство с выделенной точкой
- Точечная карта — карта, сохраняющая базовые точки
- Бесплатная карта — карта, не сохраняющая базовые точки
-
Гомотопия
- Карта называется гомотопией, если существует путь на карте от одной точки до другой
- Основанная гомотопия — гомотопия, сохраняющая базовую точку
- Гомотопические группы — группы, описывающие гомотопические классы отображений
-
Гомотопическая эквивалентность
- Карта называется гомотопической эквивалентностью, если существует другая карта, гомотопная тождеству
- Два пространства называются гомотопически эквивалентными, если между ними существует гомотопическая эквивалентность
-
Непрерывный комплекс
- Комплекс CW — пространство с системой фильтрации, где X0 — дискретное пространство
- Подмножество открыто, если открыто в каждом Xn
- Каждое многообразие имеет гомотопический тип CW-комплекса
-
Совместное провяливание и расслоение
- Карта f: A → X называется кофибрацией, если существует гомотопия h0: X → Z и g0: A → Z
- Расслоение — двойственное понятие кофибрации, где p: X → B является расслоением, если существует гомотопия h0: Z → X и g0: Z → B
- Подъем траектории — гомотопия, связывающая p и p’
-
Подъемное свойство
- Пара карт f: A → X и g: A → X называется подъемным свойством, если существует гомотопия h: A → X, такая что f ∘ h = g ∘ g
-
Свойства подъема и RLP
- Карта p: E → B удовлетворяет свойству подъема, если для каждой коммутативной квадратной диаграммы существует карта λ, делающая диаграмму актуальной.
- Карта p: E → B удовлетворяет требованиям RLP, если удовлетворяет свойству подъема для каждого i в классе карт c.
- Карта i: A → X удовлетворяет левому подъемному свойству, если удовлетворяет свойству подъема для каждого p в классе карт c.
-
Расслоения и кофибрации
- Расслоение Гуревича удовлетворяет требованиям RLP для включений i0: A → A × I.
- Расслоение Серра удовлетворяет требованиям RLP для включений i: Sn-1 → Dn, где Sn-1 — пустое множество.
- Кофибрация — это карта, удовлетворяющая требованиям для оценочных карт p: B^I → B около 0.
-
Функторы цикла и приостановки
- Функтор цикла ΩX = Карта(S1, X).
- Функтор приостановки ΣX = X ∧ S1.
- Эти функторы используются для построения последовательностей волокон и cofiber-последовательностей.
-
Классификация пространств и гомотопические операции
- Классифицирующее пространство BG для основных G-расслоений.
- Теорема Брауна о представимости гарантирует существование классифицирующих пространств.
-
Спектр и обобщенные когомологии
- Идея о классифицирующем пространстве может быть расширена на обобщенные когомологии.
- K-теория является примером обобщенной теории когомологий.
- Основной пример спектра — сферический спектр: S0 → S1 → S2 → …
-
Ключевые теоремы и аргументы
- Теорема Зайферта–ван Кампена, теорема о гомотопическом вырезании, теорема Фрейденталя о подвешивании, теорема Ландвебера о точном функторе, переписка Дольд–Кана, аргумент Экмана–Хилтона.
- Теорема об универсальном коэффициенте, Долд–Теорема Тома, теория препятствий и класс характеристик.
-
Локализация и завершение пространства
- Локализация и завершение пространства.
- Конкретные теории: простая теория гомотопий, стабильная гомотопическая теория, теория хроматической гомотопии, рациональная теория гомотопий, p-адическая теория гомотопий, теория эквивариантных гомотопий.
-
Гомотопическая гипотеза и абстрактная теория гомотопий
- Гомотопическая гипотеза: является ли пространство фундаментально алгебраическим.
- Абстрактная теория гомотопий: аксиоматический подход к теории гомотопий, основанный на модельных категориях Квиллена.
-
Симплициальное множество и симплициальная теория гомотопий
- Симплициальное множество — абстрактное обобщение симплициального комплекса.
- Сингулярная гомология X является точной гомологией симплициального множества S∗X.
- Симплициальная теория гомотопий развивается на симплициальных множествах.