Оглавление
- 1 Группа Галуа
- 1.1 Определение группы Галуа
- 1.2 Структура групп Галуа
- 1.3 Примеры групп Галуа
- 1.4 Конечные абелевы группы
- 1.5 Циклотомические расширения
- 1.6 Конечные поля
- 1.7 Примеры 4-й степени
- 1.8 Конечные неабелевы группы
- 1.9 Группа кватернионов и группа Галуа
- 1.10 Симметричная группа простого порядка
- 1.11 Сравнение групп Галуа расширений полей
- 1.12 Бесконечные группы
- 1.13 Свойства
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Группа Галуа
Группа Галуа
-
Определение группы Галуа
- Группа Галуа расширения поля E/F — это группа автоморфизмов E, сохраняющих F.
- Группа Галуа обозначается Gal(E/F).
- Если E/F — расширение Галуа, группа Галуа называется группой Галуа из E/F.
-
Структура групп Галуа
- Фундаментальная теорема теории Галуа связывает подполя E/F с подгруппами группы Галуа.
- Решетчатая структура групп Галуа позволяет изоморфизмы между группами Галуа различных расширений.
-
Примеры групп Галуа
- Группа Галуа поля F/F тривиальна.
- Группа Галуа R/Q тривиальна, так как любой автоморфизм R должен быть тождественным.
- Группа Галуа Q(23)/Q тривиальна, так как K не является разделяющим полем.
-
Конечные абелевы группы
- Группа Галуа C/R имеет два элемента: тождественный автоморфизм и автоморфизм комплексного сопряжения.
- Группа Галуа Q(2)/Q имеет два элемента: тождественный автоморфизм и автоморфизм σ, меняющий 2 на -2.
- Группа Галуа Q(p1, …, pk)/Q является произведением групп Галуа для каждого pj.
-
Циклотомические расширения
- Группа Галуа Q(ζn)/Q порождается автоморфизмами σa, меняющими ζn на ζn^a.
- Если n — простое число, группа Галуа порождается автоморфизмами σa для 1 ≤ a < n.
-
Конечные поля
- Группа Галуа Fq/Fq^n является циклической порядка n и порождается гомоморфизмом Фробениуса.
-
Примеры 4-й степени
- Группа Галуа Q(2, 3)/Q имеет два автоморфизма: σ и τ, определяющие группу порядка 4.
- Группа Галуа поля разделения многочлена (x-1)f(x)=x5-1 порождается автоморфизмом σ2 и изоморфна Z/4Z.
-
Конечные неабелевы группы
- Группа Галуа L/Q изоморфна S3, двугранной группе порядка 6.
- L является полем расщепления x3-2 над Q.
-
Группа кватернионов и группа Галуа
- Группа кватернионов может быть найдена как группа Галуа расширения поля Q.
- Расширение поля Q(√3, ζ5) имеет предписанную группу Галуа.
-
Симметричная группа простого порядка
- Если f является неприводимым многочленом простой степени p с рациональными коэффициентами и ровно двумя нереальными корнями, то группа Галуа из f является полной симметричной группой Sp.
- Пример: f(x) = x5 − 4x + 2 имеет группу Галуа Sp.
-
Сравнение групп Галуа расширений полей
- Для глобального расширения поля K/k и классов эквивалентности оценок w на K и v на k существует индуцированное действие группы Галуа G на множестве классов эквивалентности оценок.
- Если w лежит поверх v, морфизм поля sw является изоморфизмом kv-алгебры.
- Существует сюръекция глобальной группы Галуа с локальной группой Галуа, что дает метод построения групп Галуа локальных полей с использованием глобальных групп Галуа.
-
Бесконечные группы
- Основным примером расширения поля с бесконечной группой автоморфизмов является Aut(C/Q), так как он содержит каждое расширение алгебраического поля E/Q.
- Абсолютная группа Галуа является бесконечной проконечной группой, определяемой как обратный предел всех конечных расширений Галуа E/F для фиксированного поля.
- Пример: Gal(Q¯/Q) и Gal(Q(√2,√3,√5,…)/Q).
-
Свойства
- Расширение, являющееся расширением Галуа, подчиняется фундаментальной теореме теории Галуа.
- Замкнутые подгруппы группы Галуа соответствуют промежуточным полям расширения поля.
- Группа Галуа может быть задана топологией Крулля, превращающей ее в проконечную группу.