Группа единомышленников Хопфа
-
Определение коопфианской группы
- Группа G называется ко-хопфианской, если всякий раз, когда φ: G → G является инъективным групповым гомоморфизмом, φ сюръективен.
-
Примеры и не-примеры
- Каждая конечная группа G является ко-хопфианской.
- Бесконечная циклическая группа Z не является ко-хопфианской.
- Аддитивная группа действительных чисел R не является ко-хопфианской.
- Аддитивная группа рациональных чисел Q и фактор-группа Q/Z являются ко-хопфианскими.
- Мультипликативная группа Q∗ ненулевых рациональных чисел не является ко-хопфианской.
- Мультипликативная группа C∗ ненулевых комплексных чисел не является ко-хопфианской.
- Свободная абелева группа Zn и свободная группа Fn не являются ко-хопфианскими.
- Существует конечно порожденная неэлементарная практически свободная группа, которая является ко-хопфианской.
-
Группы, связанные с коопфианскими
- Фундаментальная группа замкнутого асферического многообразия с ненулевой эйлеровой характеристикой является ко-хопфианской.
- Фундаментальная группа замкнутого связного ориентированного неприводимого 3-многообразия является ко-хопфианской тогда и только тогда, когда никакое конечное покрытие не является расслоением тора над окружностью или произведением окружности и замкнутой поверхности.
- Неприводимая решетка в вещественной полупростой группе Ли является ко-хопфианской, если не является практически свободной группой.
- Односторонняя словесно-гиперболическая группа без кручения является ко-хопфианской.
- Фундаментальная группа полного гладкого риманова n-многообразия конечного объема с суженной отрицательной кривизной является ко-хопфианской.
- Группа классов отображения замкнутой гиперболической поверхности является ко-хопфианской.
- Группа Out(Fn) (где n>2) является ко-хопфианской.
- Прямоугольная художественная группа A(Γ) не является ко-хопфианской.
- Конечно порожденная нильпотентная группа G без кручения может быть как ко-хопфианской, так и не ко-хопфианской в зависимости от свойств связанной с ней рациональной алгебры Ли.
- Относительно гиперболическая группа G и инъективный, но не сюръективный эндоморфизм φ: G → G могут иметь параболические подгруппы.
- Григорчук из группы G среднего роста не является сторонником хопфа.
- Thompson group F не является ко-хопфианкой.
- Существует конечно порожденная группа G, которая не является ко-хопфиевой, но обладает свойством Каждана (T).
- Универсальная конечно представленная группа Хигмана не является ко-хопфиевой и не может быть вложена в конечно порожденную рекурсивно представленную ко-хопфову группу.
-
Обобщения и связанные понятия
- Группа G называется конечно-копопфиевой, если всякий раз, когда φ: G → G является инъективным эндоморфизмом с конечным индексом, φ(G) = G.
- Конечно порожденная группа G называется масштабно-инвариантной, если существует вложенная последовательность подгрупп с конечным индексом G, каждая из которых изоморфна G, и пересечение которых является конечной группой.
- Группа G называется дизкогопфиевой, если существует инъективный эндоморфизм φ: G → G такой, что ⋂n=1∞ φn(G) = {1}.
- В грубой геометрии метрическое пространство X называется квазиизометрически копопфовским, если каждое квазиизометрическое вложение f: X → X грубо сюръективно.
- В метрической геометрии метрическое пространство K называется квазисимметрично ко-хопфовским, если каждое квазисимметричное вложение K → K находится на стадии разработки.