Группа контактов

• Определение и свойства булавочных групп

  • Булавочные группы — это контактные группы, которые являются двойными покрытиями ортогональных групп. 
  • Они имеют групповую структуру, аналогичную структуре ортогональных групп, но с некоторыми отличиями. 
  • Они являются фундаментальными для изучения спиновых групп и имеют важное значение в теории представлений. 

• Структура булавочных групп

  • Каждая булавочная группа имеет два компонента: компонент с определителем 1 и компонент с определителем -1. 
  • Компонент с определителем 1 имеет структуру, аналогичную структуре ортогональной группы, в то время как компонент с определителем -1 имеет структуру, аналогичную группе вращений. 
  • Компоненты связаны между собой через отражение, которое имеет порядок 2 или 4 в зависимости от типа булавки. 

• Изоморфизм и классификация

  • Булавочные группы Pin+ и Pin- изоморфны, если n нечетно, и неизоморфны в противном случае. 
  • Существует восемь различных двойных покрытий для булавочных групп, соответствующих расширениям центра на C2. 

• Топологические аспекты

  • Булавочные и спиновые группы являются особыми топологическими группами, связанными с ортогональными и специальными ортогональными группами. 
  • В 2001 году Траутман нашел все 32 неэквивалентных двойных покрытия O(p) x O(q) и их максимальную компактную подгруппу. 

• Низкие размеры

  • В одномерном случае булавочные группы соответствуют двугранной и дициклической группам. 
  • В двухмерном случае различие между Pin+ и Pin- отражает различие между двугранной группой и дициклической группой. 
  • В трехмерном случае Pin+ изоморфен U(2), а Pin- код- изоморфен SU(2) x C2. 

• Центр булавочных групп

  • Центр вывода булавки зависит от четности n и может быть C2 × C2 или C4. 

• Название булавочных групп

  • Название «булавочные группы» происходит от обратного образования от Spin, где «Spin» заменено на «Штифт».