Группа разветвлений
-
Группы ветвления в теории чисел
- Группы ветвления представляют собой фильтрацию группы Галуа расширения локального поля.
- Они дают подробную информацию о явлениях ветвления расширения.
-
Теория ветвления оценок
- Теория ветвления оценок изучает множество расширений оценки поля K к расширению L из K.
- Это обобщение теории ветвления доменов Дедекинда.
-
Структура набора расширений
- Группа разложения w является подгруппой стабилизатора класса эквивалентности [w] ∈ Sv.
- Инерционная группа w состоит из элементов, тривиально воздействующих на поле вычетов w.
-
Группы ветвлений с более низкой нумерацией
- Группы ветвлений являются усовершенствованием группы Галуа G из конечного расширения локальных полей Галуа.
- Они образуют уменьшающуюся фильтрацию, где G0 является инерционной подгруппой G.
-
Изучение групп ветвлений
- Группы ветвлений сводятся к полностью разветвленному случаю.
- Функция iG(s) = w(s(α) − α) определяет группы ветвлений.
-
Примеры и приложения
- Группы ветвлений могут быть использованы для вычисления различных D L/K о расширении L/K.
- Пример: циклотомическое расширение и расширение в виде кварты.
-
Группы ветвлений в верхней нумерации
- Группы ветвлений в верхней нумерации определяются как Gv = Gψ(v).
- Верхняя нумерация соответствует переходу к частным, в то время как нижняя нумерация совместима с переходом к подгруппам.
-
Теорема Гербранда
- Теорема Гербранда утверждает, что группы ветвления в нижней нумерации удовлетворяют GuH/H = (G/H)v.
-
Группы разветвлений в верхней нумерации
- Группы разветвлений в верхней нумерации удовлетворяют соотношению G^uH/H = (G/H)^u.
- Это позволяет определять группы ветвления для бесконечных расширений Галуа из обратной системы групп ветвления для конечных подрасширений.
-
Верхняя нумерация для абелева расширения
- Важна из-за теоремы Хассе-Арфа.
- Если G является абелевым, то скачки в фильтрации G^v являются целыми числами.
- G^i = G^i+1 всякий раз, когда ϕ(i) не является целым числом.
-
Совместимость с фильтрацией группы нормальных остатков
- Верхняя нумерация совместима с фильтрацией группы нормальных остатков по единичным группам.
- Образ G^n(L/K) при изоморфизме Артина является просто G^n(L/K).