Оглавление [Скрыть]

Групповое действие

Групповое действие
- Групповое действие группы G на множестве S — это групповой гомоморфизм из G в группу функций из S в S.
- Группа G воздействует на S, если для каждого элемента g ∈ G существует функция ag : S → S, удовлетворяющая определенным аксиомам.
- Действие может быть левым или правым, в зависимости от порядка действий.
Свойства действий
- Действие называется верным, если g⋅x = x для всех x ∈ X означает, что g = eG.
- Действие называется свободным, если утверждение о том, что g∈x = x для некоторого x ∈ X, уже подразумевает, что g = eG.
- Действие является транзитивным, если для любых двух точек x, y ∈ X существует g ∈ G, такой что g∈x = y.
- Действие является просто транзитивным, если оно одновременно транзитивно и свободно.
- Действие является n-транзитивным, если для любой пары n-кортежей (x1, …, xn), (y1, …, yn) ∈ Xn с попарно различными элементами существует g ∈ G, такой что g∈xi = yi для i = 1, …, n.
Примеры и топологические свойства
- Действие симметричной группы X транзитивно и n-транзитивно для любого n с точностью до мощности X.
- Действие чередующейся группы является (n − 2)-транзитивным, но не (n − 1)-транзитивным.
- Действие общей линейной группы векторного пространства V на множество V ∈ {0} ненулевых векторов является транзитивным, но не 2-транзитивным.
- Действие ортогональной группы евклидова пространства не транзитивно к ненулевым векторам, а к единичной сфере.
- Действие G на X называется примитивным, если нет разбиения X, сохраняемого всеми элементами G, за исключением тривиальных разбиений.
- Действие называется блуждающим, если каждое x ∈ X имеет окрестности U, такие, что существует только конечное число g ∈ G с g∈ U ∈ U ≠ ∅.
- Область прерывистости действия — это совокупность всех точек прерывистости.
- Действие является собственно прерывистым, если для каждого компактного подмножества K ∈ X существует только конечное число g ∈ G таких, что g∈K ∈ K ≠ ∅.
Определение и свойства действий групп
- Действие группы G на множестве X называется блуждающим, если оно свободно и прерывисто.
- Действие deck-преобразований фундаментальной группы локально односвязного пространства на универсальном покрытии является блуждающим и свободным.
- Действие группы G на локально компактное пространство X называется кокомпактным, если существует компактное подмножество A, такое, что X = G ∈ A.
Топологические группы и действия
- Действие топологической группы G на топологическом пространстве X называется непрерывным, если отображение G × X → X является непрерывным.
- Действие считается правильным, если отображение G × X → X × X, определенное через (g, x) ↦ (x, g∈x), является правильным.
- Действие называется локально свободным, если существует окрестность U из eG, такая, что g∈x ∈ x для всех x ∈ X и g ∈ U ∈ {eG}.
- Действие называется строго непрерывным, если орбитальная карта g ∈ g∈x непрерывна для каждого x ∈ X.
Линейные действия и орбиты
- Действие группы G на модуль над коммутативным кольцом называется неприводимым, если нет соответствующих ненулевых g-инвариантных подмодулей.
- Орбита элемента x в X – это набор элементов в X, на которые x может быть перемещен элементами G.
- Орбиты образуют разбиение X, и действие является транзитивным тогда и только тогда, когда существует x в X с G∈x = X.
Инвариантные подмножества и стабилизаторы
- Подмножество Y называется инвариантным относительно G, если G∈Y = Y.
- Подмножество Y называется фиксированным в G, если g∈y = y для всех g в G и всех y в Y.
- Каждая орбита является инвариантным подмножеством X, на котором G действует транзитивно.
- Действие G на X свободно тогда и только тогда, когда все стабилизаторы тривиальны.
Теорема о стабилизации орбиты и лемма Бернсайда
- Орбиты и стабилизаторы тесно связаны, и теорема о стабилизаторе орбиты утверждает, что f(g) = f(h) тогда и только тогда, когда g и h находятся в одном смежном классе для подгруппы стабилизаторов Gx.
- Лемма Бернсайда утверждает, что |X/G| = 1/|G| ∑g∈G|Xg|.
Примеры действий групп
- Тривиальное действие любой группы G на любом множестве X определяется через g∈x = x для всех g в G и всех x в X.
- В каждой группе G умножение слева является действием G на G.
- В каждой группе G с подгруппой H умножение слева – это действие G на множестве смежных классов G / H.
- В каждой группе G сопряжение является действием G на G.
- Действие Z на множество X однозначно определяет автоморфизм X.
- Симметричная группа Sn и ее подгруппы воздействуют на множество {1, …, n}, переставляя его элементы.
- Группа симметрии многогранника воздействует на множество вершин этого многогранника.
Группы автоморфизмов и их действия
- Группы автоморфизмов действуют на векторные пространства, графы, группы и кольца.
- Общая линейная группа GL(n, K) и её подгруппы, такие как SL(n, K), O(n, K), SO(n, K) и Sp(n, K), действуют на векторное пространство Kn.
- GL(n, Z) действует на Zn естественным матричным действием.
- Аффинная группа действует транзитивно на точки аффинного пространства, а подгруппа V аффинной группы оказывает транзитивное и свободное действие.
- Проективная линейная группа PGL(n + 1, K) и её подгруппы действуют на проективное пространство Pn(K).
- Изометрия плоскости влияет на 2D-изображения и узоры.
Множества и категории
- Множества, на которые воздействует группа G, образуют категорию G-множеств.
- Группа Галуа расширения поля L/K действует на поле L, но тривиально на элементы подполя K.
- Аддитивная группа действительных чисел (R, +) воздействует на фазовое пространство систем в классической механике.
Групповые действия и группоиды
- Групповые действия могут быть закодированы группоидом действия G’ = G ∈ X.
- Стабилизаторами действия являются группы вершин группоида, а орбиты действия — его компоненты.
Морфизмы и изоморфизмы
- Морфизмы G-множеств — это функции, сохраняющие действие группы.
- Изоморфизмы — это биективные морфизмы, при которых обратное отображение также является морфизмом.
- Регулярные действия изоморфны действиям на G, свободные действия изоморфны G × S, транзитивные действия изоморфны левому умножению на G на множестве левых смежных классов.
Варианты и обобщения
- Действия моноидов на множествах определяются теми же аксиомами, но не определяют биективные отображения.
- Действия групп и моноидов могут быть определены над объектами произвольной категории.
- Групповое действие — это функтор от группы к категории множеств, а групповое представление — функтор от группы к категории векторных пространств.
Дополнительные примеры
- Непрерывные действия топологических групп на топологических пространствах.
- Плавные действия групп Ли на гладких многообразиях.
- Регулярные действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях.
- Действия групповых схем на схемах.

Групповое действие

Групповое действие

Групповое действие

Свойства действий

Примеры и топологические свойства

Определение и свойства действий групп

Топологические группы и действия

Линейные действия и орбиты

Инвариантные подмножества и стабилизаторы

Теорема о стабилизации орбиты и лемма Бернсайда

Примеры действий групп

Группы автоморфизмов и их действия

Множества и категории

Групповые действия и группоиды

Морфизмы и изоморфизмы

Варианты и обобщения

Дополнительные примеры

Полный текст статьи:

Групповое действие

Похожие статьи:

Оставьте комментарий Отменить ответ