Group action
-
Основные понятия теории групп
- Группа — множество элементов, объединённых операцией сложения.
- Нормальная подгруппа — подгруппа, удовлетворяющая определённым условиям.
- Действие группы — отображение группы на множество.
- Факторная группа — группа, полученная из исходной путём деления на нормальную подгруппу.
- Прямая сумма — объединение двух или более групп.
- Свободное произведение — объединение групп, каждая из которых действует на множество.
- Кронеккеровское произведение — объединение группы и подгруппы, каждая из которых действует на множество.
-
Свойства действий групп
- Действие группы на множестве называетсяfaithful, если каждый элемент группы действует на каждое множество.
- Действие группы называется free, если ни один элемент группы не фиксирует ни одно множество.
- Действие группы называется transitive, если для любых двух множеств существует элемент группы, переводящий одно множество в другое.
- Действие группы называется simply transitive, если оно одновременно transitive и free.
- Действие группы называется n-transitive, если оно переводит каждое множество в другое, содержащее n элементов.
-
Примеры действий групп
- Симметрическая группа действует на множествах, переводя их элементы.
- Группа перестановок действует на множествах, переставляя их элементы.
- Группа изометрий действует на евклидовы пространства и их фигуры.
- Группа симметрий многогранника действует на его вершины, рёбра и грани.
- Группа линейных преобразований действует на векторные пространства и их подпространства.
-
Топологические свойства действий групп
- Действие группы на топологическом пространстве называется wandering, если каждая точка имеет окрестность, где действие группы не является непрерывным.
- Точка называется точкой discontinuity, если существует окрестность, где действие группы не является непрерывным.
- Действие группы называется properly discontinuous, если для каждого компактного множества существует только конечное число элементов группы, переводящих это множество в себя.
-
Основные понятия
- Действие группы на множестве X называется свободным, если все стабилизаторы тривиальны.
- Действие группы на множестве X называется свободно-дискретным, если для каждого x ∈ X существует окрестность U такая, что g⋅U ∩ U = ∅ для всех g ∈ G ∖ {eG}.
- Действие группы на локально компактном пространстве X называется кокомпактным, если существует компактное подмножество A ⊂ X такое, что X = G ⋅ A.
-
Топологические группы и действия
- Действие топологической группы G на топологическом пространстве X называется непрерывным, если отображение G × X → X непрерывно.
- Действие топологической группы G на топологическом пространстве X называется правильным, если отображение G × X → X × X, определенное как (g, x) ↦ (x, g⋅x), правильно.
- Действие топологической группы G на топологическом пространстве X называется локально свободным, если существует окрестность U точки eG такая, что g⋅x ≠ x для всех x ∈ X и g ∈ U ∖ {eG}.
- Действие топологической группы G на топологическом пространстве X называется сильно непрерывным, если орбитальная карта g ↦ g⋅x непрерывна для всех x ∈ X.
-
Линейные действия
- Действие группы G на модуле над коммутативным кольцом называется неприводимым, если нет ненулевых g-инвариантных подмодулей.
- Действие группы G на модуле называется полупростым, если оно разлагается в прямую сумму неприводимых действий.
-
Орбиты и стабилизаторы
- Орбита элемента x в множестве X — это множество элементов, в которые x можно перевести элементами G.
- Орбита обозначается как G⋅x.
- Действие группы G на множестве X транзитивно, если существует x ∈ X такой, что G⋅x = X.
- Подмножество Y множества X называется инвариантным под G, если G⋅Y = Y.
- Подмножество Y называется фиксированным под G, если g⋅y = y для всех g ∈ G и y ∈ Y.
- Стабилизатор подгруппы G с respect to x — это множество всех элементов g ∈ G, которые фиксируют x.
-
Орбит-стабилизационная теорема
- Орбиты и стабилизаторы тесно связаны.
- Для фиксированного x в X, отображение f : G → X, определенное как g ↦ g⋅x, индуцирует биекцию между множеством G / Gx и орбитой G⋅x.
- Если G конечна, то длина орбиты x равна [G : Gx] = |G| / |Gx|.
-
Примеры действий
- Тривиальное действие группы G на множестве X определяется как g⋅x = x для всех g ∈ G и x ∈ X.
- В каждой группе G, левое умножение является действием G на G.
- В каждой группе G с подгруппой H, левое умножение является действием G на множестве cosets G / H.
- В каждой группе G, conjugation является действием G на G.
- Действие Z на множестве X однозначно определяется автоморфизмом X.
- Действие Z / 2Z на множестве X эквивалентно данным инволюции X.
- Симметрическая группа Sn и её подгруппы действуют на множестве {1, …, n} путём перестановки элементов.
- Симметрия группы полиhedra действует на множестве вершин, граней или рёбер полиhedra.
- Симметрия группы любого геометрического объекта действует на множестве точек этого объекта.
- В координатном пространстве V над полем F с группой единиц F*, отображение F* × V → V, определённое как a × (x1, x2, …, xn) ↦ (ax1, ax2, …, axn), является действием группы, называемым скалярным умножением.
-
Группы автоморфизмов и их действия
- Группы автоморфизмов действуют на векторные пространства, графы, группы и кольца.
- Общая линейная группа GL(n, K) и её подгруппы, такие как SL(n, K), O(n, K), SO(n, K) и Sp(n, K), действуют на векторное пространство Kn.
- GL(n, Z) действует на Zn естественным матричным действием.
- Аффинная группа действует транзитивно на точки аффинного пространства, а подгруппа V аффинной группы оказывает транзитивное и свободное действие.
- Проективная линейная группа PGL(n + 1, K) и её подгруппы действуют на проективное пространство Pn(K).
- Изометрия плоскости влияет на 2D-изображения и узоры.
-
Множества и категории
- Множества, на которые воздействует группа G, образуют категорию G-множеств.
- Группа Галуа расширения поля L/K действует на поле L, но тривиально на элементы подполя K.
- Аддитивная группа действительных чисел (R, +) воздействует на фазовое пространство систем в классической механике.
-
Групповые действия и группоиды
- Групповые действия могут быть закодированы группоидом действия G’ = G ∈ X.
- Стабилизаторами действия являются группы вершин группоида, а орбиты действия — его компоненты.
-
Морфизмы и изоморфизмы
- Морфизмы G-множеств — это функции, сохраняющие действие группы.
- Изоморфизмы — это биективные морфизмы, при которых обратное отображение также является морфизмом.
- Регулярные действия изоморфны действиям на G, свободные действия изоморфны G × S, транзитивные действия изоморфны левому умножению на G на множестве левых смежных классов.
-
Варианты и обобщения
- Действия моноидов на множествах определяются теми же аксиомами, но не определяют биективные отображения.
- Действия групп и моноидов могут быть определены над объектами произвольной категории.
- Групповое действие — это функтор от группы к категории множеств, а групповое представление — функтор от группы к категории векторных пространств.
-
Дополнительные примеры
- Непрерывные действия топологических групп на топологических пространствах.
- Плавные действия групп Ли на гладких многообразиях.
- Регулярные действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях.
- Действия групповых схем на схемах.