Хаусдорфово пространство
-
Определение и свойства хаусдорфовых пространств
- Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, в котором любые две точки можно отделить друг от друга открытыми множествами.
- Хаусдорфовость подразумевает, что каждое открытое множество является объединением счетного числа открытых интервалов.
- Хаусдорфовость является важным свойством для топологических пространств, поскольку она позволяет использовать теорему о неподвижной точке и другие фундаментальные результаты.
-
Примеры и свойства
- Пространство R^n является хаусдорфовым, а пространство R^n-1 не является.
- Пространство R^2 является хаусдорфовым, но пространство R^1 не является.
- Пространство S^n является хаусдорфовым, а пространство S^n-1 не является.
- Хаусдорфовость пространства R^n-1 следует из хаусдорфовости пространства R^n.
- Хаусдорфовость пространства S^n-1 следует из хаусдорфовости пространства S^n.
-
Связь с другими топологическими пространствами
- Хаусдорфовость тесно связана с понятием предрегулярности, но не эквивалентна ему.
- Хаусдорфовость может быть усилена до полной регулярности, но не всегда.
- Хаусдорфовость часто подразумевает более строгие аксиомы разделения, такие как локальная компактность или полная регулярность.
-
Алгебра функций и каламбуры
- Алгебра непрерывных функций в компактном хаусдорфовом пространстве является коммутативной C*-алгеброй.
- Хаусдорфовость иллюстрируется каламбуром о возможности «отделения» двух точек открытыми множествами.
-
Вариации и дополнительные сведения
- Существуют различные варианты хаусдорфовых пространств, включая однородные пространства и пространства Коши.
- Хаусдорфовость связана с понятием фиксированной точки и другими топологическими концепциями.
- В Математическом институте Боннского университета есть специальная комната, названная Хаусдорф-Раум, что является каламбуром, отражающим важность хаусдорфовости.