Интеграл Дирихле
-
Определение и свойства интеграла Дирихле
- Интеграл Дирихле – это интеграл от функции, которая имеет особенность в начале координат.
- Он имеет важное значение в теории вероятностей и математической физике.
-
Преобразование Лапласа и его применение
- Преобразование Лапласа позволяет преобразовать интеграл Дирихле в двойной интеграл.
- Используется для вычисления интегралов с помощью преобразования Фурье.
-
Двойная интеграция и дифференцирование под знаком интеграла
- Двойная интеграция позволяет преобразовать интеграл Дирихле в двойной интеграл.
- Дифференцирование под знаком интеграла позволяет оценить интеграл Дирихле.
-
Интеграция по контуру и ядро Дирихле
- Интеграция по контуру используется для вычисления интеграла Дирихле, когда преобразование Лапласа не применимо.
- Ядро Дирихле позволяет вычислить интеграл Дирихле через интеграл по контуру.
-
Непрерывность и сходимость
- Интеграл Дирихле является непрерывным на интервале (0, π/2].
- Доказательство сходимости интеграла Дирихле основано на лемме Римана-Лебега и свойствах тригонометрических функций.
-
Доказательство существования интеграла
- Интеграл Дирихле абсолютно интегрируем, что означает существование предела.
- Доказательство основано на разложении косинуса в ряд Тейлора и абсолютной интегрируемости интеграла.
Полный текст статьи: