Riemann–Stieltjes integral
-
Определение и свойства
- Интеграл Римана-Стилтьеса обобщает интеграл Римана и назван в честь Бернхарда Римана и Томаса Стилтьеса.
- Определяется как предел суммы, где длина наибольшего подинтервала стремится к нулю.
- Интеграл допускает интегрирование по частям и существование одного интеграла подразумевает существование другого.
- Интеграл существует, если f и g непрерывны и g имеет ограниченную вариацию.
-
Применение в теории вероятностей
- Если g — кумулятивная функция распределения случайной величины, то интеграл равен ожидаемому значению функции f.
- Формула не работает, если g не имеет производной по Лебегу.
- Интеграл также используется в функциональном анализе и спектральной теореме.
-
Геометрическая интерпретация
- Интеграл можно представить как площадь проекции поверхности на плоскость f(x) и g(x).
- Площадь зависит от наклона g(x) и максимальна в точках с наибольшим наклоном.
-
Обобщения и примеры
- Обобщение: интеграл Лебега-Стилтьеса, интеграл для функций в банаховом пространстве.
- Примеры: дифференцируемая g(x), g(x) — интеграл производной по Лебегу.
-
Абсолютная непрерывность
- Функция g может иметь скачки или производную, равную нулю почти везде, но оставаться непрерывной и возрастающей.
- В таких случаях интеграл Римана-Стилтьеса не может быть выражен через производные g.
-
Риманов интеграл
- Стандартный Риманов интеграл является частным случаем интеграла Римана-Стилтьеса при g(x) = x.
-
Rectifier
- Функция g(x) = max{0, x} используется в нейронных сетях и называется Rectified Linear Unit (ReLU).
- Интеграл Римана-Стилтьеса для ReLU можно вычислить как стандартный Риманов интеграл.
-
Интеграция Кавальери
- Принцип Кавальери позволяет вычислять площади, ограниченные кривыми, с помощью интегралов Римана-Стилтьеса.
- Интегральные полосы заменяются непрямоугольными полосами.
- Метод использует функцию h или g = h-1 как подынтегральное выражение.
-
Определение области Кавальери
- Для заданной функции f(x) на интервале [a, b] строится “трансляционная функция” a(y), пересекающая (x, f(x)) ровно один раз для любого сдвига в интервале.
- Область Кавальери ограничена f(x), a(y), x-осью и b(y) = a(y) + (b-a).
- Площадь области равна сумме площадей прямоугольников, ограниченных a(y) и b(y), где a’ и b’ — значения x, где a(y) и b(y) пересекают f(x).