Оглавление
- 1 Gagliardo–Nirenberg interpolation inequality
- 1.1 История и формулировка
- 1.2 Основные понятия
- 1.3 Формулировка неравенства
- 1.4 Корреспонденции
- 1.5 Доказательство неравенства Гagliardo-Nirenberg
- 1.6 Неравенство в ограниченных областях
- 1.7 Необходимость новой формулировки
- 1.8 Неравенство Гальярдо-Ниренберга в ограниченных областях
- 1.9 Обобщение на нецелочисленные порядки
- 1.10 Теорема Брезиса-Миронеску
- 1.11 Пример применения
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Интерполяционное неравенство Гальярдо–Ниренберга
Gagliardo–Nirenberg interpolation inequality
-
История и формулировка
- Неравенство Гagliardo-Nirenberg было предложено в 1958 году Эмилио Гagliardo и Луисом Ниренбергом.
- В 1959 году Ниренберг опубликовал лекцию, где кратко изложил доказательство.
- В 2021 году было опубликовано полное доказательство в евклидовом пространстве.
-
Основные понятия
- Неравенство связывает нормы различных слабых производных функции через интерполяцию.
- Используется в теории эллиптических дифференциальных уравнений.
-
Формулировка неравенства
- Для любого p и k, Lp(Rn) и Wk,p(Rn) обозначают соответствующие пространства.
- Неравенство утверждает, что норма производной функции в Lp(Rn) не превосходит произведения норм производных в Lr(Rn) и Lq(Rn).
-
Корреспонденции
- Неравенство обобщает известные результаты функционального анализа.
- Включает теорему о непрерывных вложениях между соболевскими пространствами.
- Приводит к неравенству Ладыженской и неравенству Нэша.
-
Доказательство неравенства Гagliardo-Nirenberg
- Неравенство Гagliardo-Nirenberg утверждает, что норма градиента функции u в Lp(Rn) ограничена нормой её производных в Lr(Rn) и нормой самой функции в Lq(Rn).
- Доказательство основано на двойной индукции по парам (j, m), где j и m — порядки дифференцирования.
- В качестве базового случая рассматривается j = 1 и m = 2, что даёт θ = 1/2.
- Первый шаг индукции: если неравенство верно для m = m⋆ и j = 1, то оно верно для m = m⋆ + 1 и j = 1.
- Второй шаг индукции: если неравенство верно для (j⋆, m⋆) и j⋆ < m⋆, то оно верно для (j⋆ + 1, m⋆ + 1) и j⋆ + 1.
-
Неравенство в ограниченных областях
- В теории дифференциальных уравнений часто рассматриваются функции, определённые на ограниченных областях.
- Неравенство Гagliardo-Nirenberg может быть расширено на такие области, добавляя штрафной член.
- В случае ограниченной области Ω, неравенство утверждает, что норма градиента функции u в Lp(Ω) ограничена нормой её производных в Lr(Ω) и нормой самой функции в Lq(Ω) плюс штрафной член.
- Штрафной член зависит от параметров j, m, n, q, r, θ и области Ω, но не от функции u.
-
Необходимость новой формулировки
- В ограниченной области Ω, где Ω имеет конечную меру, аффинные функции принадлежат Lp(Ω) для всех p, включая p = +∞.
- В ограниченной области аффинные функции принадлежат C∞(Ω) и их производные порядка выше двух равны нулю.
- В ограниченной области неравенство Гagliardo-Nirenberg не выполняется для аффинных функций, что приводит к противоречию.
-
Неравенство Гальярдо-Ниренберга в ограниченных областях
- Неравенство не выполняется в целом для интегрируемых функций в ограниченных областях.
- При более сильных предположениях можно переформулировать теорему, чтобы штрафной член был поглощен первым членом справа.
- В ограниченных областях неравенство обычно формулируется с использованием полной нормы Соболева.
-
Обобщение на нецелочисленные порядки
- Проблема интерполяции различных пространств Соболева решена в полной общности.
- Результаты не зависят от размерности и допускают реальные значения j и m.
- Пространства Соболева определяются для различных значений s и p.
-
Теорема Брезиса-Миронеску
- Теорема обобщает неравенство Гальярдо-Ниренберга на дробные пространства Соболева.
- Теорема утверждает, что для любого u ∈ Ws,p(Ω) ∩ Ws1,p1(Ω) ∩ Ws2,p2(Ω) выполняется оценка ‖u‖Ws,p(Ω) ≤ C‖u‖Ws1,p1(Ω)θ‖u‖Ws2,p2(Ω)1−θ.
- Постоянная C зависит от параметров p, p1, p2, s, s1, s2, θ и домена Ω.
-
Пример применения
- Пример с параметрами p = 8/3, p1 = 2, p2 = 4, s = 7/12, s1 = 1/2, s2 = 2/3, θ = 1/2 дает оценку ‖u‖Ws7/12,8/3(Ω) ≤ C‖u‖Ws1/2,2(Ω)1/2‖u‖Ws2/3,4(Ω)1/2.
- Обоснованность оценки подтверждается тем, что p2 ≠ 1.