Исчезнуть в бесконечности
-
Определение функции, обращающейся в нуль на бесконечности
- Функция обращается в нуль на бесконечности, если её значения приближаются к 0 при неограниченном увеличении входных данных.
- Существует два определения: для нормированных векторных пространств и локально компактных пространств.
-
Определение для нормированных векторных пространств
- Функция в нормированном векторном пространстве обращается в нуль на бесконечности, если её значение стремится к 0 при неограниченном увеличении нормы входных данных.
- Пример: функция, определённая на вещественной прямой, исчезает на бесконечности.
-
Определение для локально компактных пространств
- Функция в локально компактном пространстве обращается в нуль на бесконечности, если для любого положительного числа ε существует компактное подмножество K такое, что значение функции за пределами K стремится к 0.
- Пример: функция, где x и y — реальные числа, большие или равные 1, исчезает в бесконечности.
-
Совместимость определений
- Нормированное пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно.
- В бесконечномерном банаховом пространстве функция может исчезать в бесконечности по одному определению, но не по другому.
-
Быстро уменьшающиеся функции
- Быстро убывающие тестовые функции теории умеренного распределения удовлетворяют условию, что их значения стремятся к 0 при |x| → ∞.
- Это условие самодвойственно при преобразовании Фурье, что делает соответствующую теорию распределения темперированных распределений также быстро убывающей.