Оглавление
- 1 Исходная топология
- 1.1 Определение исходной топологии
- 1.2 Примеры и свойства
- 1.3 Оценка и Хаусдорфизм
- 1.4 Выделение точек из замкнутых множеств
- 1.5 Отделяющие точки от замкнутых множеств
- 1.6 Исходная однородная структура
- 1.7 Топология на X, вызванная U
- 1.8 Хаусдорфность и равномерная непрерывность
- 1.9 Фильтр Коши и транзитивность
- 1.10 Категориальное описание
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Исходная топология
Исходная топология
-
Определение исходной топологии
- Исходная топология на множестве X определяется как самая грубая топология, делающая функции из X в другие топологические пространства непрерывными.
- Исходная топология существует всегда и равна топологии, сгенерированной объединением топологий на Y.
-
Примеры и свойства
- Топология подпространства и топология продукта являются частными случаями исходной топологии.
- Исходная топология характеризуется тем, что функция из Z в X непрерывна тогда и только тогда, когда все функции f_i непрерывны.
- Исходная топология транзитивна относительно композиции функций.
-
Оценка и Хаусдорфизм
- Оценочная карта f: X → ∏_i Y_i является топологическим вложением тогда и только тогда, когда f_i разделяют точки в X.
- Если X имеет исходную топологию и все Y_i Хаусдорфовы, то X является Хаусдорфовым пространством.
-
Выделение точек из замкнутых множеств
- Если X поставляется с топологией, то можно определить, является ли она исходной топологией, индуцированной семейством отображений f_i.
-
Отделяющие точки от замкнутых множеств
- Семейство карт {f_i} отделяет точки от замкнутых множеств в X, если для всех замкнутых множеств A и всех x ∉ A существует i такой, что f_i(x) ∉ cl(f_i(A)).
- Это означает, что пространство X имеет начальную топологию, индуцированную отображениями {f_i}.
-
Исходная однородная структура
- Если (U_i) — семейство однородных структур на X, то наименьшая верхняя граница U_i является самой грубой однородной структурой на X.
- Эта форма существует всегда и равна фильтру на X × X, генерируемому подосновой фильтра ⋃i∈I U_i.
-
Топология на X, вызванная U
- Топология на X, вызванная U, является самой грубой топологией на X, такой, что каждый f_i: X → Y_i является непрерывным.
- Исходная однородная структура U также является самой грубой однородной структурой, такой, что тождественные отображения id: (X, U) → (X, f_i^{-1}(U_i)) являются равномерно непрерывными.
-
Хаусдорфность и равномерная непрерывность
- Топология на X, вызванная U, является Хаусдорфовой тогда и только тогда, когда для любых x, y ∈ X и i ∈ I существует V_i ∈ U_i такой, что (f_i(x), f_i(y)) ∉ V_i.
- Если для каждого i ∈ I топология на Y_i, вызванная U_i, является Хаусдорфовой, то топология на X, вызванная U, также является Хаусдорфовой.
- Функция g из однородного пространства Z в (X, U) является равномерно непрерывной тогда и только тогда, когда f_i ∘ g: Z → Y_i является равномерно непрерывным для каждого i ∈ I.
-
Фильтр Коши и транзитивность
- Фильтр B на X включен в фильтр Коши (X, U) тогда и только тогда, когда f_i(B) включен в предварительный фильтр Коши Y_i для каждого i ∈ I.
- Если в утверждении о транзитивности исходной топологии заменить слово “топология” на “однородная структура”, то результирующее утверждение также будет истинным.
-
Категориальное описание
- Исходное построение топологии можно описать через функторы Y и U.
- Карты {f_i} можно рассматривать как конус из X в UY.
- Характерное свойство исходной топологии эквивалентно утверждению о существовании универсального морфизма из U¯ к (X, f).
- Задание (X, f) ↦ I(X, f) распространяется на функтор I: Cone(UY) → Cone(Y), который является прямой, обратной к U¯.