Оглавление
- 1 Код Адамара
- 1.1 История и название
- 1.2 Свойства и параметры
- 1.3 Дополненный код Адамара
- 1.4 Применение и использование
- 1.5 Конструкции и декодирование
- 1.6 История и развитие
- 1.7 Определение и свойства кода Адамара
- 1.8 Построение кода Адамара
- 1.9 Расстояние и вес кодовых слов
- 1.10 Локальная декодируемость
- 1.11 Оптимальность
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Код Адамара
Код Адамара
-
История и название
- Код Адамара назван в честь Жака Адамара, который определил матрицы Адамара в 1893 году.
- Код Адамара также известен как код Уолша, в честь Джозефа Леонарда Уолша.
-
Свойства и параметры
- Код Адамара имеет длину блока 2^k и длину сообщения k.
- Минимальное расстояние кода равно 2^k/2.
- Код Адамара уникален тем, что каждое ненулевое кодовое слово имеет вес Хэмминга 2^k-1.
-
Дополненный код Адамара
- Дополненный код Адамара имеет длину блока 2^k, длину сообщения k+1 и минимальное расстояние 2^k/2.
- Он имеет несколько лучшую скорость и предпочтительнее в практическом применении.
-
Применение и использование
- Код Адамара используется для исправления ошибок при передаче данных по зашумленным каналам.
- В 1971 году код Адамара использовался для передачи фотографий Марса с космического зонда “Маринер-9”.
- Код Адамара применяется в теории сложности вычислений и вероятностно проверяемых доказательствах.
-
Конструкции и декодирование
- Код Адамара основан на матрицах Адамара, разработанных Сильвестром.
- Код Адамара можно декодировать с помощью быстрого преобразования Фурье.
- Код Адамара локально расшифровываемый, что позволяет восстановить части сообщения по малой части полученного слова.
-
История и развитие
- Код Адамара был разработан до появления кода Хэмминга.
- В 1990-х годах использование кода Адамара космическими программами прекратилось.
-
Определение и свойства кода Адамара
- Код Адамара — это линейный код, полученный из матрицы Адамара.
- Матрица Адамара имеет 2n кодовых слов, где n — размерность кода.
- Код Адамара имеет минимальное расстояние n/2.
-
Построение кода Адамара
- Код Адамара можно получить из матрицы Адамара, применяя отображение -1 ↦ 1, 1 ↦ 0.
- Для получения кода по алфавиту {0,1} используется отображение x ↦ (1 − x)/2.
-
Расстояние и вес кодовых слов
- Расстояние в коде Адамара равно минимальному весу Хэмминга среди всех ненулевых кодовых слов.
- Все ненулевые кодовые слова имеют вес Хэмминга 2k-1.
-
Локальная декодируемость
- Код Адамара является (2, δ, 1/2 − 2δ) локально декодируемым для 0 ≤ δ ≤ 1/4.
- Доказательство основано на лемме 1 и алгоритме декодирования.
-
Оптимальность
- Для k ≤ 7 линейные коды Адамара оптимальны с точки зрения минимального расстояния.