Оглавление
Колчан (математика)
-
Определение колчана
- Колчан — это ориентированный граф с циклами и множественными стрелками.
- Представление колчана присваивает векторное пространство каждой вершине и линейную карту каждой стрелке.
- Колчан можно понимать как базовую структуру категории без тождественных морфизмов.
-
Морфизмы колчанов
- Морфизм колчанов — это отображение вершин, приводящее направленные ребра к направленным ребрам.
- Морфизм состоит из двух функций: mv: V → V’ и me: E → E’.
-
Теоретико-категориальное определение
- Колчан — это функтор от свободного колчана до категории множеств.
- Свободный колчан — это категория с двумя объектами и четырьмя морфизмами.
- Колчан в категории C — это функтор от Q до C.
-
Алгебра путей
- Путь в колчане — это последовательность стрелок, где начало ai+1 является концом ai для i = 1, …, n-1.
- Алгебра колчана — это векторное пространство с базисом из всех путей в колчане.
- Алгебра имеет единичный элемент, если колчан имеет конечное число вершин.
-
Изображения колчанов
- Представление колчана — это связь R-модуля с каждой вершиной и морфизм между модулями для каждой стрелки.
- Морфизм между представлениями — это набор линейных отображений, удовлетворяющих определенным условиям.
- Прямая сумма представлений — это представление, где каждая вершина представлена суммой модулей.
-
Колчаны с отношениями
- Колчан с отношением — это пара (Q, I), где Q — колчан и I — идеал алгебры путей.
- Частное KΓ/I — это алгебра путей вида (Q, I).
-
Разновидности колчанов
- Разновидности колчанов учитывают размеры векторных пространств и условия устойчивости.
- Колчан имеет конечный тип, если он имеет конечное число классов изоморфизма неразложимых представлений.
-
Теорема Габриэля
- Колчан имеет конечный тип тогда и только тогда, когда его график является одной из диаграмм Эйда Дынкина.
- Неразложимые представления находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными корнями корневой системы диаграммы Дынкина.