Оглавление [Скрыть]
Кольцо Стэнли–Рейснера
-
Определение и свойства кольца Стэнли–Рейснера
- Кольцо Стэнли–Рейснера (k[Δ]) получается из кольца многочленов k[x1,…,xn] путем умножения на идеал IΔ, сгенерированный бесквадратными одночленами.
- Идеал IΔ называется идеалом Стэнли–Рейснера или идеалом лица Δ.
- Кольцо k[Δ] многоступенчато по Zn и допускает прямое суммирующее разложение.
- Размерность Крулля k[Δ] на единицу больше размерности симплициального комплекса Δ.
-
Примеры и обобщения
- Если Δ – симплекс, IΔ – нулевой идеал.
- Если Δ состоит из n изолированных вершин, IΔ – идеал, состоящий из всех одночленов.
- Если Δ – d-скелет симплекса, кольцо Стэнли–Рейснера получается усечением кольца многочленов.
- Если Δ является симплициальным объединением Δ’ и Δ”, кольцо Стэнли–Рейснера является тензорным произведением колец Стэнли–Рейснера Δ’ и Δ”.
-
Условие Коэна–Маколея и гипотеза о верхней границе
- Граневое кольцо k[Δ] является многоступенчатой алгеброй с компонентами размерности не более 1.
- Симплициальный комплекс Δ называется Коэна–Маколея над k, если его граневое кольцо является кольцом Коэна–Маколея.
- Джеральд Рейснер дал полную характеристику таких комплексов в 1974 году.
- Ричард Стэнли доказал гипотезу о верхней границе для симплициальных сфер, используя конструкцию кольца граней и критерий Коэна–Маколея Рейснера.
-
Критерий Рейснера
- Симплициальный комплекс Δ является Коэна–Маколея над k тогда и только тогда, когда для всех симплексов σ ∈ Δ все приведенные симплициальные группы гомологий звена σ в Δ с коэффициентами в k равны нулю, за исключением группы с верхней размерностью.
- Коэн–Маколейность Δ над k является топологическим свойством, зависящим только от класса гомеоморфизма симплициального комплекса Δ.
- Если комплекс Δ является симплициальной сферой, он является Коэном–Маколеем над любым полем.
-
Рекомендации
- Мелвин Хохстер, кольца Коэна-Маколея, комбинаторика и симплициальные комплексы.
- Теория колец, II (Proc. Вторая конференция, Унив. Оклахома, Норман, штат Оклахома, 1975), стр. 171–223.
- Конспекты лекций на чистом и прикладном языках. Математика, Том Ii. 26 декабря, Деккер, Нью-Йорк, 1977.