Оглавление
- 1 Сложное аффинное пространство
- 1.1 Аффинная геометрия
- 1.2 Комплексное аффинное пространство
- 1.3 Аффинная структура
- 1.4 Малоразмерные примеры
- 1.5 Аффинные координаты
- 1.6 Ассоциированное проективное пространство
- 1.7 Структурная группа и автоморфизмы
- 1.8 Голоморфные функции в комплексном аффинном пространстве
- 1.9 Топологии в комплексном аффинном пространстве
- 1.10 Метрика в комплексном аффинном пространстве
- 1.11 Набор аналитических функций
- 1.12 Комплексное аффинное пространство как область голоморфии
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Комплексное аффинное пространство – Arc.Ask3.Ru
Сложное аффинное пространство
-
Аффинная геометрия
- Изучение геометрических свойств линий, плоскостей и их многомерных аналогов
- Отсутствие метрических понятий расстояния или угла
- Аффинные пространства отличаются от линейных отсутствием четкого выбора источника
-
Комплексное аффинное пространство
- Аффинное пространство над комплексными числами
- Получено из комплексного проективного пространства путем фиксации гиперплоскости
- Эллипс и парабола неэквивалентны на комплексной аффинной плоскости
-
Аффинная структура
- Вспомогательное пространство V, называемое разностным пространством
- Аффинная комбинация точек выражается через скаляры, сумма которых равна единице
- Аффинные функции сохраняют аффинные комбинации
-
Малоразмерные примеры
- Одномерное аффинное пространство: плоскость Арганда комплексных чисел
- Двумерное аффинное пространство: двумерное комплексное координатное пространство
- Четырехмерное аффинное пространство: пространство Минковского
-
Аффинные координаты
- Набор аффинно независимых аффинных функций задает аффинную систему координат
- Комплексное аффинное n-пространство: Cn, где n – размерность
-
Ассоциированное проективное пространство
- Проективное завершение A: проективное пространство одномерных комплексных линейных подпространств F(A)
- Группа автоморфизмов P(A) = PGL(F(A)) ≅ PGL(n + 1, C)
-
Структурная группа и автоморфизмы
- Группа автоморфизмов аффинного пространства A как алгебраического многообразия больше
- Якобианский определитель алгебраического автоморфизма должен быть ненулевой константой
- Гипотеза Якоби: если якобиан само-отображения комплексного аффинного пространства ненулевая константа, то это отображение является автоморфизмом
-
Голоморфные функции в комплексном аффинном пространстве
- Функция в комплексном аффинном пространстве голоморфна, если её комплексно-сопряженная функция является производной Ли вдоль разностного пространства V.
- Это придает комплексному аффинному пространству структуру комплексного многообразия.
- Каждая аффинная функция от A до комплексных чисел голоморфна, следовательно, и каждый многочлен в аффинных функциях.
-
Топологии в комплексном аффинном пространстве
- Аналитическая топология является исходной топологией для семейства аффинных функций в комплексных числах.
- Аналитическая топология имеет основу из полидисков, связанных с независимыми аффинными функциями.
- Топология Зарисского является исходной топологией для аффинных комплекснозначных функций и дает комплексной прямой топологию конечного дополнения.
- Аналитическая топология более точна, чем топология Зариски.
-
Метрика в комплексном аффинном пространстве
- Метрику можно определить, сделав комплексное аффинное пространство евклидовым пространством, выбрав внутреннее произведение на V.
- Расстояние между двумя точками p и q в A задается в терминах соответствующей нормы на V.
- Открытые шары, связанные с метрикой, образуют основу для топологии, которая является такой же, как аналитическая топология.
-
Набор аналитических функций
- Семейство голоморфных функций на комплексном аффинном пространстве A образует пучок колец.
- Уникальность аналитического продолжения гласит, что для заданных двух голоморфных функций на связном открытом подмножестве U из Cn, если они совпадают на непустом открытом подмножестве U, они совпадают на U.
- Теорема о когерентности Ока утверждает, что структурный пучок O сложного аффинного пространства является когерентным.
-
Комплексное аффинное пространство как область голоморфии
- Каждое комплексное аффинное пространство является областью голоморфии.
- В частности, это многообразие Штейна.