Оглавление
- 1 Сложный многогранник
- 1.1 Определение сложных многогранников
- 1.2 Правильные сложные многогранники
- 1.3 Примеры сложных многогранников
- 1.4 Обозначения и нотации
- 1.5 Узлы и диаграммы
- 1.6 Ограничения и симметрия
- 1.7 Порядок группы и число Кокстера
- 1.8 Двойственность и чередование
- 1.9 Матричные генераторы
- 1.10 Перечисление и визуализация
- 1.11 Правильные сложные многогранники
- 1.12 Двойственность и перечисление
- 1.13 Визуализация правильных сложных многогранников
- 1.14 Правильные комплексные 4-многогранники
- 1.15 Правильные комплексные 5-многогранники
- 1.16 Правильные комплексные 6-многогранники
- 1.17 Правильные комплексные апейротопы
- 1.18 Многоугольник Ван Осса
- 1.19 Многоугольники Ван Осса
- 1.20 Апейрогоны ван Осса
- 1.21 Сложные многогранники произведения
- 1.22 Квазирегулярные многоугольники
- 1.23 Квазирегулярные апейрогоны
- 1.24 Квазирегулярные многогранники
- 1.25 Другие сложные многогранники с унитарными отражениями периода два
- 1.26 Визуализации
- 1.27 Полный текст статьи:
- 2 Комплексный многогранник
Сложный многогранник
-
Определение сложных многогранников
- Сложные многогранники обобщают многогранники в реальном пространстве на комплексные гильбертовы пространства.
- Каждая точка является пересечением нескольких прямых, каждая линия – нескольких плоскостей.
- Точные определения существуют только для правильных сложных многогранников.
-
Правильные сложные многогранники
- Правильные сложные многогранники полностью охарактеризованы и описываются с помощью символической нотации Кокстера.
- Правильные сложные многогранники удовлетворяют условиям симметрии, таким как транзитивность группы Шепарда.
-
Примеры сложных многогранников
- Сложный многоугольник имеет 8 ребер и 16 вершин, каждая вершина лежит на двух ребрах.
- Вершины на ребре симметричны относительно центра тяжести.
- Сложные 1-многогранники имеют p вершин и могут быть представлены диаграммой Кокстера-Дынкина.
-
Обозначения и нотации
- Шепард разработал модифицированную нотацию Шлефли для правильных многогранников.
- Кокстер предложил более современное обозначение p1{q}p2, основанное на теории групп.
- Диаграммы Кокстера-Дынкина используются для представления сложных многогранников.
-
Узлы и диаграммы
- Узлы p и r создают изображения p и r на плоскости
- Немаркированные узлы имеют неявные 2 метки
- Реальный правильный многоугольник равен 2{q}2 или {q} или
-
Ограничения и симметрия
- Узлы с нечетными порядками ответвлений должны иметь одинаковые порядки узлов
- Группы с перекрывающимися элементами создают “звездчатые” полигоны
- Симметрия записывается как p [q] r, группа Шепарда
-
Порядок группы и число Кокстера
- Порядок группы p[q]r равен g = 8/q ⋅ (1/p + 2/q + 1/r − 1) − 2
- Число Кокстера для p[q]r равно h = 2/(1/p + 2/q + 1/r − 1)
-
Двойственность и чередование
- Двойной многоугольник p {q} r равен r {q} p
- Многоугольник формы p{q}p самодвойственен
- Группы вида p[2q]2 имеют полусимметрию p[q]p
-
Матричные генераторы
- Группа p[q]r может быть представлена двумя матрицами
-
Перечисление и визуализация
- Кокстер перечислил сложные многоугольники в таблице III
- Многоугольники формы p{2r}q визуализируются с помощью q наборов цветов
- Многоугольники вида p{4}2 называются обобщенными гиперкубами
-
Правильные сложные многогранники
- Правильный сложный многогранник представляется Кокстером как p {z1} q {z2} r {z3}s…
- Существует бесконечное множество правильных сложных многогранников
- Обобщенный ортотоп Шепарда обобщает гиперкуб
- Одномерный правильный комплексный многогранник в C1 имеет p вершин
-
Двойственность и перечисление
- Двойной сложный многогранник строится путем замены k и (n-1-k)-элементов
- Кокстер перечислил нестандартные правильные сложные многогранники в C3
-
Визуализация правильных сложных многогранников
- Вещественное {3,3} имеет 4 вершины, 6 ребер и 4 грани
- Обобщенные октаэдры имеют правильную конструкцию и квазирегулярную форму
- Обобщенные кубы имеют правильную конструкцию и призматическую конструкцию
-
Правильные комплексные 4-многогранники
- Кокстер перечислил 6 выпуклых правильных 4-многогранников в R4.
- Визуализация включает реальные и обобщенные 4-ортоплексы и тессеракты.
-
Правильные комплексные 5-многогранники
- Правильные комплексные 5-многогранники включают вещественные симплексы, обобщенный гиперкуб и ортоплекс.
- Визуализация включает обобщенные 5-ортоплексы и кубики.
-
Правильные комплексные 6-многогранники
- Правильные комплексные 6-многогранники включают обобщенные 6-ортоплексы и кубики.
- Визуализация включает обобщенные 6-ортоплексы и кубические элементы.
-
Правильные комплексные апейротопы
- Кокстер перечислил 12 апейротопов для каждого измерения.
- Правильные комплексные апейрогоны и апейроэдры имеют различные симметрии и формы.
-
Многоугольник Ван Осса
- Многоугольник Ван Осса — это правильный многоугольник на плоскости, в котором лежат ребро и центр тяжести правильного многогранника.
-
Многоугольники Ван Осса
- Многоугольники Ван Осса реального октаэдра — это три квадрата, плоскости которых проходят через его центр.
- У куба нет многоугольника Ван Осса, так как плоскость от края к центру проходит по диагонали через две квадратные грани.
-
Апейрогоны ван Осса
- В бесконечных сотах также есть апейрогоны ван Осса.
- Настоящая квадратная черепица и треугольная черепица имеют апейрогоны {∞}, апейрогоны ван Осса.
-
Сложные многогранники произведения
- Некоторые сложные многогранники могут быть представлены в виде декартовых произведений.
- Эти многогранники не являются строго правильными, но могут представлять более низкую симметрию правильных форм.
-
Квазирегулярные многоугольники
- Квазирегулярный многоугольник — это усечение правильного многоугольника.
- Квазирегулярный многоугольник имеет p вершин на p-ребрах правильной формы.
-
Квазирегулярные апейрогоны
- Существует 7 квазирегулярных сложных апейрогонов, которые чередуют ребра правильного апейрогона и его правильного двойника.
- Симметрия самодвойственных семейств может быть удвоена.
-
Квазирегулярные многогранники
- Сложный квазирегулярный многогранник может быть построен как выпрямление правильного многогранника.
- Вершины создаются в середине ребра правильного многогранника, а грани правильного многогранника и его двойника располагаются поочередно на общих ребрах.
-
Другие сложные многогранники с унитарными отражениями периода два
- Другие нерегулярные сложные многогранники могут быть построены в рамках унитарных групп отражений.
- Группа определяется тремя унитарными отражениями, все порядка 2.
- Количество вершин многогранника диаграммы Кокстера с одним кольцом равно порядку группы, деленному на порядок подгруппы.
-
Визуализации
- Примеры сложных многогранников с различными вершинами и ребрами.
- Визуализации включают (1 1 114)4, (14 14 11)(3), (1 1 22)4.