Конгломерат (математика)

• Концепция конгломерата в математике

  • Конгломерат используется для обозначения произвольных множеств, в отличие от выделенных множеств, которые являются элементами вселенной Гротендика. 
  • Аксиоматические теории множеств могут быть расширены добавлением аксиомы о существовании вселенной Гротендика, что приводит к неконсервативным расширениям. 

• Терминология и следствия

  • В расширенных теориях множеств термин «набор» применяется только к элементам вселенной Гротендика, «класс» — к подмножествам, а «конгломерат» — ко всем множествам. 
  • Модель исходной теории множеств в расширенной теории включает вселенную Гротендика. 
  • Если исходная теория допускает существование надлежащего класса, то эти объекты исключаются из рассмотрения в расширенной теории. 
  • Представления объектов исходной теории в новой теории означают, что их свойства могут быть доказаны в новой теории. 
  • Новая теория не эквивалентна исходной, так как некоторые дополнительные утверждения могут быть доказаны только в расширенной теории. 

• Изменение терминологии

  • Изменение терминологии называется «соглашением о конгломерате» и было предложено Маком Лейном. 
  • Мак Лейн не переопределяет теоретико-множественные термины, а работает в теории множеств без классов, называя элементы вселенной Гротендика «малыми множествами». 
  • Термин «конгломерат» используется в обзорах и статьях без определения, но должен использоваться исключительно для избежания двусмысленности.