Геометрия контакта
-
Определение и свойства контактных многообразий
- Контактные многообразия — это гладкие многообразия с заданной контактной структурой.
- Контактная структура — это 2-форма, которая определяет касательные пространства к гиперповерхности.
- Существует связь между контактными структурами и симплектическими структурами, что позволяет строить симплектические расслоения.
-
Примеры и теоремы
- В качестве примера можно рассмотреть R3 с контактной структурой, определенной через dz − y dx.
- Теорема Дарбу утверждает, что каждая контактная структура локально выглядит как в примере R3.
- Важный класс контактных многообразий составляют многообразия Сасакиана.
-
Лежандровы подмногообразия и узлы
- Лежандровы подмногообразия — это подмногообразия, чьи касательные пространства лежат внутри контактного поля.
- Узлы Лежандра — это особые точки лежандровых подмногообразий.
- Существуют инварианты лежандриевых подмногообразий, называемые контактными гомологиями.
-
Векторное поле Риба
- Векторное поле Риба — это векторное поле, которое генерирует геодезический поток римановой метрики.
- Динамика поля Риба используется для изучения структуры контактных многообразий.
-
История и приложения
- Теория контактных преобразований была разработана Софусом Ли для изучения дифференциальных уравнений.
- Контактные многообразия имеют приложения в дифференциальных уравнениях и субримановой геометрии.