Оглавление
Контактное кольцо
-
Определение цепного кольца
- Кольцо R является цепным, если для любых двух простых идеалов p и q, любые две строго возрастающие цепочки простых идеалов содержатся в максимальных строго возрастающих цепочках одинаковой длины.
- В геометрической ситуации длина цепочки n обычно равна разнице в размерах.
-
Универсально цепные кольца
- Кольцо называется универсально цепным, если все конечно порожденные алгебры над ним являются цепными кольцами.
- Формула размерности для универсально цепных колец утверждает, что равенство выполняется, если A является универсально цепным.
-
Примеры универсально цепных колец
- Почти все нетеровы кольца, появляющиеся в алгебраической геометрии, являются универсально цепными.
- Примеры: полные нетеровы локальные кольца, домены дедекинда, кольца Коэна-Маколея, любая локализация универсального цепного кольца, любая конечно порожденная алгебра над универсально цепным кольцом.
-
Пример Нагаты
- Масаеси Нагата нашел двумерную нетерову локальную область, которая является цепной, но не универсально цепной.
- Пример Нагаты: выберите поле k и формальный степенной ряд z, определите z1 = z и zi+1=zi/x–ai, пусть R – кольцо, порожденное x и всеми элементами zi, m – идеал (x), n – идеал, порожденный x-1 и всеми элементами zi.
- Локальное кольцо Rm является регулярным локальным кольцом размерности 1, а Rn – регулярным нетеровым локальным кольцом размерности 2.
- Локализация B относительно всех элементов, не входящих ни в m, ни в n, является двумерным нетеровым полулокальным кольцом с максимальными идеалами mB и nB.
- Кольцо A = k+I является локальной областью размерности 2 и цепным, но не универсально цепным.
-
Формально цепные кольца
- Формально цепное кольцо является таким же, как и универсальное цепное кольцо.
-
Рекомендации
- H. Мацумура, Коммутативная алгебра, 1980.
- Р. E. Паб “Кригер”, Соавтор (1975).