Оглавление
Кривая таутохроны
-
Задача о таутохроне
- Задача о таутохроне – это задача о нахождении кривой, по которой тело падает с постоянной скоростью, достигая нулевой высоты за заданное время.
- Решение задачи включает использование дифференциального уравнения движения и принципа сохранения энергии.
-
Решение Ньютона
- Ньютон предложил решение, основанное на использовании закона всемирного тяготения и закона инерции.
- Решение описывает движение тела как движение по параболе, что соответствует времени падения, равному времени подъема.
-
Решение Абеля
- Абель критиковал обобщенную версию задачи, предлагая найти уравнение кривой, соответствующее заданному времени падения.
- Решение Абеля основано на принципе сохранения энергии и использовании интегрального уравнения Абеля для вычисления общего времени падения.
-
Интегральное уравнение Абеля
- Интегральное уравнение Абеля позволяет вычислить общее время падения частицы, учитывая начальную высоту и скорость.
- Для задачи о таутохроне интегральное уравнение Абеля упрощается, так как время падения является постоянным.
-
Решение задачи о таутохроне
- Используя интегральное уравнение Абеля и преобразование Лапласа, можно найти уравнение для циклоиды, которое соответствует задаче о таутохроне.
- Для получения полного представления о форме контура требуется еще один шаг, включающий интеграцию по переменной y.
Полный текст статьи: