Оглавление
Кубическое поле
-
Определение кубического поля
- Кубическое поле — это поле алгебраических чисел третьей степени.
- Любое кубическое поле изоморфно полю вида Q(f), где f — неприводимый кубический многочлен.
-
Типы кубических полей
- Абсолютно реальное кубическое поле имеет три действительных корня.
- Сложное кубическое поле имеет хотя бы один нереальный корень.
- Циклическое кубическое поле содержит все три корня из f.
-
Примеры кубических полей
- Q(23) — чистое кубическое поле с наименьшим дискриминантом.
- Q(x3 + x2 − 1) — не чистое кубическое поле с наименьшим дискриминантом среди всех кубических полей.
- Q(x3 + x2 − 2x − 1) — циклическое кубическое поле с наименьшим дискриминантом среди полностью вещественных кубических полей.
-
Закрытие Галуа и связанные квадратичные поля
- Циклическое кубическое поле является собственным замыканием Галуа.
- Любое другое кубическое поле имеет расширение поля N второй степени как замыкание Галуа.
- Дискриминант кубического поля может быть записан как df2, где d — фундаментальный дискриминант.
-
Различающий и кратность дискриминанта
- Дискриминант кубического поля положителен для полностью реальных полей и отрицателен для сложных полей.
- Несколько неизоморфных кубических полей могут иметь один и тот же дискриминант.
-
Изучение числа кубических полей
- Гарольд Дэвенпорт и Ханс Хайльбронн определили первый член асимптотического поведения числа кубических полей с заданным дискриминантом.
- Дэвид П. Робертс вывел более точную асимптотическую формулу.
-
Группа единиц измерения
- Вполне реальное кубическое поле имеет две независимые единицы, а комплексное кубическое поле — одну.
- Эти фундаментальные системы единиц могут быть вычислены с помощью обобщенных алгоритмов непрерывной дроби Вороного.