Квазиалгебраически замкнутое поле
- Квазиалгебраически замкнутое поле F имеет нетривиальные нули у непостоянных однородных многочленов P над F.
- Идея квазиалгебраически замкнутых полей исследовалась С. Ценом, Сержем Лангом и Эмилем Артином.
- Примеры квазиалгебраически замкнутых полей: алгебраически замкнутые поля, конечные поля, поля алгебраических функций, максимальное неразветвленное расширение полного поля с дискретной оценкой и полем совершенных вычетов, полное поле с дискретной оценкой и алгебраически замкнутым полем вычетов, псевдолегебраически замкнутое поле с нулевой характеристикой.
- Свойства квазиалгебраически замкнутых полей: алгебраическое расширение квазиалгебраически замкнутого поля является квазиалгебраически замкнутым, группа Брауэра конечного расширения квазиалгебраически замкнутого поля тривиальна, квазиалгебраически замкнутое поле имеет когомологическую размерность не более 1, поля Ck называются квазиалгебраически замкнутыми полями, поля C1 являются конечными полями, поля C2 обладают определенными свойствами.
- Лэнг и Нагата доказали, что любое расширение степени трансцендентности n равно Ck +n, где k — диофантова размерность поля.
- Поля C1 являются слабыми полями C1, поля C2 обладают определенными свойствами, поле Ck является слабым полем Ck, поля Ck являются идеальными полями PAC со слабым Ck, поле K слабо Ck, d тогда и только тогда, когда каждая форма, удовлетворяющая условиям, имеет точку x, определенную над полем, которое является первичным расширением K.
- Если поле рациональных чисел Q и функциональные поля Fp(t) слабо C1, тогда каждое поле слабо C1.
Полный текст статьи: