Управляемое разнообразие
-
Определение управляемости и неуправляемости
- Многообразие над полем k управляется, если оно бирационально произведению проективной прямой с некоторым разнообразием по k.
- Многообразие является неуправляемым, если оно покрыто семейством рациональных кривых.
-
Свойства неуправляемых многообразий
- Каждое неуправляемое многообразие над полем с нулевой характеристикой имеет размерность Кодайры −θ.
- Гладкое проективное многообразие X над полем с нулевой характеристикой является неуправляемым тогда и только тогда, когда каноническое расслоение X не является псевдоэффективным.
- Гладкая гиперповерхность степени d в Pn над полем с нулевой характеристикой является неуправляемой тогда и только тогда, когда d ≤ n.
-
Неуправляемость и алгебраические замыкания
- Многообразие X над несчетным алгебраически замкнутым полем k является неуправляемым тогда и только тогда, когда существует рациональная кривая, проходящая через каждую k-точку X.
- Существуют многообразия над алгебраическим замыканием конечного поля, которые не являются неуправляемыми, но имеют рациональную кривую через каждую k-точку.
-
Неуправляемость в положительной характеристике
- Неуправляемость в положительной характеристике ведет себя иначе.
- Существуют нерегулярные поверхности общего типа, например, поверхность xp+1 + yp +1 + zp+1 + wp+1 = 0 в P3 вместо Fp для любого простого числа p ≥ 5.
- Многообразие X является отделимо неуправляемым, если существует многообразие Y с доминирующим отделимым рациональным отображением Y × P1 → X, которое не учитывает проекцию на Y.
-
Разделяемые неуправляемые многообразия
- Разделяемое неуправляемое многообразие имеет размерность Кодайры −∞.
- Обратное верно в измерении 2, но не в более высоких измерениях.
- Неизвестно, является ли каждая гладкая разновидность Фано с положительной характеристикой отдельно неуправляемой.