Линейно упорядоченная группа
-
Определение упорядочиваемой группы
- Группа G упорядочена по левому краю, если существует левый инвариантный порядок ≤.
- Группа G упорядочена по правому краю, если существует правый инвариантный порядок ≥.
- Группа G биупорядочена, если она упорядочена по обоим направлениям.
-
Необходимые условия упорядоченности
- Отсутствие элементов конечного порядка является необходимым условием для упорядоченности по левому краю.
- Группа, упорядоченная по левому краю, не может быть упорядочена дважды.
-
Дополнительные определения
- Левый инвариантный порядок ≤ эквивалентен порядку ≤′, который определяется через обратное преобразование.
- Положительный конус G+ характеризует порядок ≤ и состоит из положительных элементов.
- Упорядоченная группа может быть определена как непересекающийся союз подмножеств P и P−1.
-
Биинвариантность и устойчивость положительного конуса
- Биинвариантность порядка ≤ означает, что он инвариантен к сопряжению.
- Устойчивость положительного конуса при внутренних автоморфизмах является эквивалентом биинвариантности.
-
Примеры упорядочиваемых групп
- Архимедовы группы изоморфны подгруппам аддитивной группы действительных чисел.
- Свободные группы и прямоугольные группы Артина могут быть упорядочены по левому краю.
- Существуют группы, которые упорядочены по левому краю, но не являются двуупорядоченными.
-
Связь с динамическими системами
- Счетная группа упорядочена по левому краю тогда и только тогда, когда она действует на вещественную прямую гомеоморфно.
- Решетки в группах Ли более высокого ранга не могут быть упорядочены по левому краю.