Оглавление
Мера Синая–Рюэля–Боуэна
-
Определение меры SRB
- Мера SRB — это инвариантная мера, которая ведет себя аналогично эргодической мере, но не является таковой.
- Для эргодичности среднее значение по времени должно быть равно среднему значению по пространству почти для всех начальных состояний.
- Для меры SRB достаточно, чтобы условие эргодичности было справедливым для начальных состояний множества положительной меры Лебега.
-
История и авторы
- Первоначальные идеи были представлены Яковом Синаем, Дэвидом Рюэллом и Руфусом Боуэном.
- Работы касались диффеоморфизмов Аносова и аттракторов аксиомы А.
-
Теорема о существовании мер SRB
- Теорема устанавливает достаточные условия для существования мер SRB.
- Рассматривается случай аттракторов аксиомы А, который был расширен для более общих сценариев.
- Мера SRB существует, если аттрактор неприводим и удовлетворяет определенным условиям.
-
Эквивалентные утверждения
- Мера SRB эквивалентна абсолютно непрерывным мерам, обусловленным неустойчивым многообразием и его подмногообразиями.
- Мера SRB также эквивалентна стационарному распределению с нулевым уровнем шума для марковской цепи с состояниями T(x).
-
Важность и применение
- Мера SRB является “хорошим” приближением к практическим случаям с небольшим количеством шума.
- Математически это утверждает, что показатель SRB является стационарным распределением марковской цепи с нулевым уровнем шума.