Метод сопряженных градиентов

• Обзор метода сопряженных градиентов

  • Метод сопряженных градиентов — это итерационный метод решения систем линейных уравнений. 
  • Он основан на минимизации функции, которая представляет собой сумму квадратов невязок. 
  • Метод использует ортогональные направления поиска для улучшения приближенного решения. 

• История и развитие метода

  • Метод был разработан в 1952 году и получил дальнейшее развитие в 1960-х годах. 
  • Он был предложен как альтернатива методу Гаусса-Ньютона и методу сопряженных градиентов. 
  • Метод сопряженных градиентов был усовершенствован в 1970-х годах и стал широко использоваться в научных вычислениях. 

• Математическая основа метода

  • Метод использует ортогональные направления поиска для минимизации функции невязок. 
  • Он основан на использовании сопряженных векторов для улучшения приближенного решения. 
  • Метод использует альфа- и бета-сигналы для определения направления поиска и улучшения сходимости. 

• Пример кода на языке программирования

  • В статье приведен пример кода на языке программирования Julia для решения системы линейных уравнений. 

• Свойства конвергенции

  • Метод сопряженных градиентов теоретически может сходиться к точному решению после конечного числа итераций. 
  • На практике метод неустойчив и может достигать требуемого допуска после небольшого числа итераций. 

• Теорема о сходимости

  • Метод сопряженных градиентов имеет теоретическую оценку скорости сходимости, которая зависит от спектра матрицы и номера условия. 

• Практическая конвергенция

  • На практике первый этап итераций может быть быстрым, а второй этап — четко определенным. 
  • На последнем этапе достигается наименьшая точность, и сходимость может прекратиться или даже начать расходиться. 

• Метод предварительно обусловленных сопряженных градиентов

  • Предварительная подготовка матрицы может улучшить скорость сходимости метода сопряженных градиентов. 
  • Если предварительная подготовка матрицы обеспечивает лучший номер условия, чем исходная матрица, то можно использовать предварительно обусловленный метод сопряженных градиентов. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.