Метод сопряженных градиентов

От / / Оставьте комментарий

Метод сопряженных градиентов Обзор метода сопряженных градиентов Метод сопряженных градиентов — это итерационный метод решения систем линейных уравнений.  Он основан […]

Gradient methods, Numerical linear algebra, Градиентные методы, Численная линейная алгебра

Метод сопряженных градиентов

  • Обзор метода сопряженных градиентов

    • Метод сопряженных градиентов — это итерационный метод решения систем линейных уравнений. 
    • Он основан на минимизации функции, которая представляет собой сумму квадратов невязок. 
    • Метод использует ортогональные направления поиска для улучшения приближенного решения. 

  • История и развитие метода

    • Метод был разработан в 1952 году и получил дальнейшее развитие в 1960-х годах. 
    • Он был предложен как альтернатива методу Гаусса-Ньютона и методу сопряженных градиентов. 
    • Метод сопряженных градиентов был усовершенствован в 1970-х годах и стал широко использоваться в научных вычислениях. 

  • Математическая основа метода

    • Метод использует ортогональные направления поиска для минимизации функции невязок. 
    • Он основан на использовании сопряженных векторов для улучшения приближенного решения. 
    • Метод использует альфа- и бета-сигналы для определения направления поиска и улучшения сходимости. 

  • Пример кода на языке программирования

    • В статье приведен пример кода на языке программирования Julia для решения системы линейных уравнений. 

  • Свойства конвергенции

    • Метод сопряженных градиентов теоретически может сходиться к точному решению после конечного числа итераций. 
    • На практике метод неустойчив и может достигать требуемого допуска после небольшого числа итераций. 

  • Теорема о сходимости

    • Метод сопряженных градиентов имеет теоретическую оценку скорости сходимости, которая зависит от спектра матрицы и номера условия. 

  • Практическая конвергенция

    • На практике первый этап итераций может быть быстрым, а второй этап — четко определенным. 
    • На последнем этапе достигается наименьшая точность, и сходимость может прекратиться или даже начать расходиться. 

  • Метод предварительно обусловленных сопряженных градиентов

    • Предварительная подготовка матрицы может улучшить скорость сходимости метода сопряженных градиентов. 
    • Если предварительная подготовка матрицы обеспечивает лучший номер условия, чем исходная матрица, то можно использовать предварительно обусловленный метод сопряженных градиентов. 
    • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала. 

Полный текст статьи:

Метод сопряженных градиентов — Википедия

Похожие статьи:

  1. Скорость обучения Скорость обучения Основные понятия машинного обучения Контролируемое обучение: обучение с заранее определенными целями и критериями оценки. ...
  2. Нелинейный метод сопряженных градиентов Метод нелинейных сопряженных градиентов Основы метода нелинейного сопряженного градиента Метод обобщает линейный сопряженный градиент для нелинейной...
  3. Последовательное чрезмерное расслабление Последовательное чрезмерное расслабление Определение и история метода SOR Метод SOR (Successive Over-Relaxation) — это итерационный метод...
  4. Метод Якоби Метод Якоби Описание метода Якоби Метод Якоби используется для решения систем линейных уравнений с диагональным доминированием. ...
  5. Обобщенный метод минимальной невязки Обобщенный метод минимального остатка Обзор метода GMRES GMRES — это итерационный метод для решения систем линейных...
  6. Симметричный первый ранг Симметричный ранг-один Обзор метода SR1 SR1 — это квазиньютоновский метод для обновления гессиана на основе градиентов. ...
  7. Таблица поиска Таблица поиска Основы таблиц поиска Таблицы поиска используются для быстрого доступа к данным, хранящимся в памяти. ...
  8. Теория поиска Теория поиска Основы теории поиска Поиск — это процесс выбора из множества альтернатив, который может быть...
  9. Итерация с фиксированной точкой Итерация с фиксированной точкой Определение итерации с фиксированной точкой Итерация с фиксированной точкой — это последовательность,...
  10. Субградиентный метод Субградиентный метод Основы субградиентного метода Субградиентный метод — это метод оптимизации, который использует субградиенты для спуска...
  11. Последовательная параболическая интерполяция Последовательная параболическая интерполяция Основы последовательной параболической интерполяции Метод нахождения экстремума унимодальной функции через последовательную подгонку парабол. ...
  12. Сопряженные функторы Сопряженные функторы Определение сопряженных функторов Функтор F: C → D называется сопряженным слева к G: D...
  13. Численный метод Численный метод Определение численного метода Численный метод — математический инструмент для решения численных задач  Численный алгоритм...
  14. Цикл инструкций Цикл обучения Цикл выполнения команд Цикл выполнения команд — это процесс обработки инструкций процессором от загрузки...
  15. Эллипсоидный метод Метод эллипсоида Обзор метода эллипсоида Метод эллипсоида — это алгоритм для решения задач выпуклой оптимизации за...
  16. Радиус схождения Радиус схождения Радиус сходимости степенного ряда определяет область, в которой ряд сходится.  Для определения радиуса сходимости...

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх