Оглавление
Монадическая булева алгебра
-
Определение монадической булевой алгебры
- Монадическая булева алгебра — это алгебраическая структура A с сигнатурой ⟨A, ·, +, ‘, 0, 1, ∃⟩, где ∃ — унарный оператор, обозначающий квантор существования.
- ∃ удовлетворяет тождествам: ∃0 = 0, ∃x ≥ x, ∃(x + y) = ∃x + ∃y, ∃x∃y = ∃(x∃y).
- ∃x — это экзистенциальное замыкание x.
- Двойственный оператор ∀ — универсальный квантор, определяемый как ∀x := (∃x’)’.
- Монадическая булева алгебра имеет двойственное определение, где ∀ — примитивный оператор, а ∃ — определенный.
-
Связь с топологией
- Монадические булевы алгебры связаны с топологией через интерпретацию ∀ как внутреннего оператора.
- Аксиомы для внутренней алгебры включают ∀(∀x) = ∀x, что можно доказать из (1)–(4).
- Альтернативные аксиоматизации включают ∀(∀ x)’ = (∀x)’ и ∀(x∨∀y) = ∀x∨∀y.
- Монадические булевы алгебры являются полупростыми внутренними / замыкающими алгебрами.
-
Монадическая логика
- Монадические булевы алгебры образуют множество и связаны с монадической логикой предикатов.
- Пол Халмос открыл монадические булевы алгебры во время работы над полиадическими алгебрами.
- Халмос и Гивант изучают монадическую булеву алгебру на уровне бакалавриата.
-
Связь с модальной логикой
- Модальная логика S5 является моделью монадических булевых алгебр.
- Монадические булевы алгебры обеспечивают алгебраическую семантику для S5.
- S5-алгебра является синонимом монадической булевой алгебры.