Оглавление
Пространство Монтеля
-
Определение пространства Монтеля
- Пространство Монтеля — это замкнутое топологическое векторное пространство, в котором каждое замкнутое и ограниченное подмножество компактно.
- Эквивалентно, это инфраосновное полумонтелево пространство.
-
Характеристики пространств Монтеля
- Сепарабельное пространство Фреше является пространством Монтеля, если каждая слабо сходящаяся последовательность в непрерывной двойственности сильно сходится.
- Пространство Фреше X является пространством Монтеля, если каждая ограниченная непрерывная функция X → c0 посылает замкнутые ограниченные абсолютно выпуклые подмножества X к относительно компактным подмножествам c0.
- Если Cb(X) обозначает векторное пространство всех ограниченных непрерывных функций в пространстве Фреше X, то X является Монтелем, если каждая последовательность в Cb(X), сходящаяся к нулю в компактно-открытой топологии, также равномерно сходится к нулю на всех замкнутых ограниченных абсолютно выпуклых подмножествах X.
-
Достаточные условия
- Замкнутое векторное подпространство полумонтелева пространства снова является полумонтелевым пространством.
- Локально выпуклая прямая сумма любого семейства полумонтелевых пространств снова является полумонтелевым пространством.
- Обратный предел обратной системы, состоящей из полумонтелевых пространств, снова является полумонтелевым пространством.
- Декартово произведение любого семейства полумонтелевых пространств (соответственно пространств Монтеля) — это снова пространство Полумонтеля (соответственно пространство Монтеля).
-
Свойства пространств Монтеля
- Пространства Монтеля являются паракомпактными и нормальными.
- Пространства Полумонтеля являются квазиполными и полурефлексивными, в то время как пространства Монтеля являются рефлексивными.
- Никакое бесконечномерное банахово пространство не является пространством Монтеля.
- Пространства Фреше Монтеля отделимы и имеют борнологическую сильную двойственность.
- Метризуемое пространство Монтеля является сепарабельным.
- Пространства Фреше–Монтеля — это выделенные пространства.
-
Примеры пространств Монтеля
- В классическом комплексном анализе теорема Монтеля утверждает, что пространство голоморфных функций на открытом связном подмножестве комплексных чисел обладает этим свойством.
- Пространство C∞(Ω) из гладких функций на открытом множестве Ω в Rn представляет собой пространство Монтеля, оснащенное топологией, индуцированной семейством полунорм.
- Пространство компактно поддерживаемых функций в открытом наборе с конечной топологией семейства включений C0∞(K) ⊂ C0∞(Ω) также является пространством Монтеля.
-
Контрпримеры
- Каждое бесконечномерное нормированное пространство — это замкнутое пространство, которое не является пространством Монтеля.
- В частности, каждое бесконечномерное банахово пространство не является пространством Монтеля.
- Существуют пространства Монтеля, которые нельзя разделить, и существуют пространства Монтеля, которые не являются полными.
- Существуют пространства Монтеля, имеющие замкнутые векторные подпространства, которые не являются пространствами Монтеля.