Оглавление
- 1 Морфизм схем
- 1.1 Определение морфизма схем
- 1.2 Аффинный случай
- 1.3 Морфизм как относительная схема
- 1.4 Примеры морфизмов
- 1.5 Типы морфизмов
- 1.6 Разделенные морфизмы
- 1.7 Правильные морфизмы
- 1.8 Проективные морфизмы
- 1.9 Плоские морфизмы
- 1.10 Неразветвленные морфизмы
- 1.11 Высотные морфизмы
- 1.12 Морфизмы как точки
- 1.13 Определение рациональной карты схем
- 1.14 Доминирующие рациональные карты
- 1.15 Примеры и свойства
- 1.16 Полный текст статьи:
- 2 Морфизм схем
Морфизм схем
-
Определение морфизма схем
- Морфизм схем — это морфизм локально замкнутых пространств.
- Изоморфизмы определяются соответствующим образом.
- Схема имеет открытые аффинные диаграммы, что позволяет описывать морфизмы через них.
-
Аффинный случай
- Морфизм схем индуцируется кольцевыми гомоморфизмами между координатными кольцами аффинных диаграмм.
- Морфизм схем является морфизмом аффинных схем, если он локально индуцируется кольцевыми гомоморфизмами.
- Морфизм схем может быть описан через сопряженное отношение.
-
Морфизм как относительная схема
- Морфизм схем над базовой схемой называется S-схемой.
- S-морфизм — это морфизм схем, который является S-схемой.
- Все S-схемы образуют категорию.
-
Примеры морфизмов
- Основные морфизмы включают морфизмы между алгебрами и мультипликативными группами.
- Морфизмы могут быть получены из семейств, параметризованных базовым пространством.
-
Типы морфизмов
- Морфизмы конечного типа имеют покрытие аффинными схемами.
- Закрытое погружение — это морфизм, который является гомеоморфизмом и сюръективным.
- Примеры закрытых погружений включают подсхемы и квазиаффинные схемы.
-
Разделенные морфизмы
- Определяют семейства схем, которые являются “хаусдорфовыми”
- Диагональный морфизм должен быть закрытым погружением
- Большинство схем не являются хаусдорфовыми
-
Правильные морфизмы
- Отделены, конечного типа, универсально закрыты
- Примеры: проективные морфизмы
-
Проективные морфизмы
- Определяют семейства проективных многообразий
- Определяются замкнутым погружением или квазикогерентным модулем
- Примеры: карандаши Лефшеца, проективные EGA
-
Плоские морфизмы
- Соответствуют семействам многообразий, изменяющихся непрерывно
- Размеры волокон должны быть одинаковыми
- Примеры: раздутие, семейство гладких аффинных квадрических кривых
-
Неразветвленные морфизмы
- Морфизм из аффинных схем является неразветвленным, если ΩX/Y = 0
- Морфизм является неразветвленным, если он неразветвлен в каждой точке X
- Пример: морфизм, плоский и неразветвленный, за исключением точки
-
Высотные морфизмы
- Плоские и неразветвленные морфизмы
- Примеры: охватывающие пространства, конечные разделимые расширения полей
-
Морфизмы как точки
- Морфизм от S до X является S-точкой X
- Схема над B определяется ее различными точками
- Примеры: сечения структурных отображений, морфизмы между точками
-
Определение рациональной карты схем
- Рациональная карта схем определяется как класс эквивалентности пары (U, fU), где U — открытое плотное подмножество X, а fU — морфизм из U в Y.
- Если X неприводима, рациональная функция на X является рациональным отображением из X в аффинную прямую A1 или проекционную линию P1.
-
Доминирующие рациональные карты
- Рациональная карта является доминирующей, если она отправляет общую точку в общую точку.
- Кольцевой гомоморфизм между функциональными полями не обязательно индуцирует доминирующее рациональное отображение.
-
Примеры и свойства
- Spec k[x] и Spec k(x) имеют одинаковое функциональное поле, но нет рационального отображения между ними.
- Любое включение функциональных полей алгебраических многообразий индуцирует доминирующее рациональное отображение.