Наследственно конечное множество
-
Определение наследственно конечного множества
- Множество, которое не содержит бесконечных подмножеств, называется наследственно конечным.
- Множество, содержащее только конечные подмножества, также является наследственно конечным.
-
Примеры наследственно конечных множеств
- Множество натуральных чисел является наследственно конечным.
- Множество всех конечных множеств также является наследственно конечным.
- Множество всех конечных последовательностей натуральных чисел также является наследственно конечным.
-
Мощность и биективность
- Мощность каждого элемента наследственно конечного множества меньше, чем мощность континуума.
- Класс всех наследственно конечных множеств имеет мощность континуума и обозначается Hℵ0.
-
Кодирование Аккермана
- Вильгельм Аккерман предложил кодирование наследственно конечных множеств с помощью натуральных чисел.
- Кодирование позволяет моделировать теорию множеств Цермело-Френкеля без аксиомы бесконечности.
-
Графические модели
- Класс Hℵ0 соответствует корневым деревьям без нетривиальных симметрий.
- Графовые модели позволяют интерпретировать теорию множеств в теории выразительных типов.
-
Аксиоматизация теории множеств
- Теория множеств включает аксиомы, включая аксиому бесконечности.
- Наследственно конечные множества являются подклассом вселенной фон Неймана и могут быть аксиоматически охарактеризованы.
-
Обобщения и эквивалентности
- Множество наследственно конечно тогда и только тогда, когда его транзитивное замыкание конечно.
- Множество наследственно конечно тогда и только тогда, когда оно не содержит бесконечных подмножеств.