Оглавление
- 1 LF-пространство
- 1.1 Определение LF-пространства
- 1.2 Индуктивная топология
- 1.3 Прямые системы
- 1.4 Прямой предел
- 1.5 Строгий индуктивный предел
- 1.6 Свойства LF-пространств
- 1.7 Примеры LF-пространств
- 1.8 Определение LF-пространства
- 1.9 Топология TVS на X
- 1.10 Индуктивный предел TVS
- 1.11 Двойственное пространство X’
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 НЧ-пространство
LF-пространство
-
Определение LF-пространства
- LF-пространство — это топологическое векторное пространство, являющееся локально выпуклым индуктивным пределом счетной индуктивной системы пространств Фреше.
- Каждая карта склеивания должна быть вложением TVSS, чтобы пространство было строгим LF-пространством.
-
Индуктивная топология
- Индуктивная топология — это наилучшая топология на объекте, при которой все морфизмы являются непрерывными.
- В категории топологических пространств конечная топология всегда существует.
-
Прямые системы
- Прямая система — это тройка объектов, морфизмов и индексирующего набора, удовлетворяющая определенным условиям.
- Карты склеивания называются связующими картами системы.
-
Прямой предел
- Прямой предел — это объект, полученный из прямой системы путем ограничения сверху.
- В категории локально выпуклых топологических векторных пространств топология прямого предела может быть описана через абсолютно выпуклые подмножества.
-
Строгий индуктивный предел
- Строгий индуктивный предел — это прямой предел, где каждая карта склеивания является вложением TVSS.
- В категории локально выпуклых топологических векторных пространств топология строгого индуктивного предела может быть описана через абсолютно выпуклые подмножества.
-
Свойства LF-пространств
- LF-пространства являются полными, бочкообразными и борнологичными.
- Линейные отображения из LF-пространств в другие TVS непрерывны тогда и только тогда, когда они последовательно непрерывны.
- Сильное двойственное пространство LF-пространства является пространством Фреше тогда и только тогда, когда все исходные пространства нормируемы.
-
Примеры LF-пространств
- Пространство удобных и компактно поддерживаемых функций Cc∞(Rn) является типичным примером LF-пространства.
- Прямой предел конечномерных пространств также является LF-пространством.
-
Определение LF-пространства
- LF-пространство X определяется как векторное подпространство Xn с каноническим вложением Xm → Xn.
- Xm → Xn определяется через x := (x1, …, xm) ↦ (x1, …, xm, 0, …, 0).
-
Топология TVS на X
- Любая топология TVS на X делает непрерывными включения Xm в X.
- X имеет максимум среди всех топологий TVS на R-векторном пространстве со счетной размерностью по Хэмелю.
- Это топология LC, связанная с семейством всех полунорм на X.
-
Индуктивный предел TVS
- Топология индуктивного предела TVS для X совпадает с топологическим индуктивным пределом.
- Прямой предел конечномерных пространств Xn в категории TOP и в категории TVS совпадают.
-
Двойственное пространство X’
- Непрерывное двойственное пространство X’ равно алгебраическому двойственному пространству X.
- Слабая топология на X’ равна сильной топологии на X’.
- X’ является уникальной топологией LC на X’, чье топологическое двойственное пространство равно X.