Оглавление [Скрыть]
- 1 Неотъемлемый элемент
- 1.1 Определение интегрального замыкания
- 1.2 Примеры интегрального замыкания
- 1.3 Интегральное замыкание в алгебраической геометрии
- 1.4 Эквивалентные определения и свойства
- 1.5 Интегральные расширения и теоремы Коэна-Зайденберга
- 1.6 Подъем и лежание
- 1.7 Геометрическая интерпретация подъема
- 1.8 Геометрическая интерпретация интегральных расширений
- 1.9 Действия Галуа над интегральными расширениями
- 1.10 Встроенное закрытие
- 1.11 Проводник
- 1.12 Конечность интегрального замыкания
- 1.13 Интегральное замыкание дедекиндовой области
- 1.14 Интегральное замыкание нетеровой области
- 1.15 Интегральное замыкание конечно порожденной алгебры
- 1.16 Интегральное замыкание полной локальной нетеровой области
- 1.17 Лемма о нормализации Нетер
- 1.18 Интегральные морфизмы
- 1.19 Абсолютное интегральное замыкание
- 1.20 Полный текст статьи:
- 2 Неотъемлемый элемент
Неотъемлемый элемент
-
Определение интегрального замыкания
- Элемент b коммутативного кольца B называется целым по подкольцу A, если b является корнем монического многочлена над A.
- Интегральное замыкание A в B — это совокупность элементов B, которые являются целыми по A.
- Интегральное замыкание подкольца A в B само является подкольцом B и содержит A.
-
Примеры интегрального замыкания
- Целые числа в рациональных числах являются интегральным замыканием Z в Q.
- Целые числа Гаусса — это комплексные числа вида a + b√-1, a, b ∈ Z, и являются целыми по Z.
- Интегральное замыкание Z в Q(√-1) — это кольцо OQ[i].
- Интегральное замыкание Z в Q(√5) — это кольцо, которое можно найти, используя минимальный многочлен.
- Интегральное замыкание Z в C называется кольцом алгебраических целых чисел.
-
Интегральное замыкание в алгебраической геометрии
- Интегральное замыкание тесно связано с нормализацией и нормальными схемами.
- Интегральное замыкание C[x, y, z]/(xy) — это кольцо C[x, z] × C[y, z].
- Интегральное замыкание однородного координатного кольца нормального проективного многообразия X — это кольцо сечений.
-
Эквивалентные определения и свойства
- Интегральность эквивалентна существованию монического многочлена с целыми коэффициентами.
- Интегральное замыкание образует кольцо, содержащее A.
- Интегральность транзитивна: если c интегрален по B и B интегрален по A, то c интегрален по A.
-
Интегральные расширения и теоремы Коэна-Зайденберга
- Интегральные расширения обладают свойствами нарастания, наложения и несравнимости.
- Для цепочки простых идеалов в A существует цепочка простых идеалов в B с p’i = p’i ∩ A.
-
Подъем и лежание
- Два различных первичных идеала не могут быть сведены к одному и тому же первичному идеалу.
- Размеры Крулля A и B одинаковы.
- Если A является интегрально замкнутой областью, выполняется нисходящее движение.
-
Геометрическая интерпретация подъема
- Подъем подразумевает “лежание”.
- Если f: A → B является гомоморфизмом, то f распространяется на гомоморфизм B → k.
- Индуцированная карта f# является закрытой картой.
-
Геометрическая интерпретация интегральных расширений
- Если B является интегралом по A, то Спекуляция B → Спекуляция A является погружным.
- Интегральное расширение индуцирует “универсально замкнутое” отображение.
-
Действия Галуа над интегральными расширениями
- Группа Галуа действует на всех основных идеалах, лежащих над фиксированным простым идеалом.
- Это называется расщеплением простых идеалов в расширениях Галуа.
-
Встроенное закрытие
- Интегральное замыкание A в B является интегральным замыканием A’ в B’.
- Интегральное замыкание локального кольца может не быть локальным.
- Интегральное замыкание идеала I в R является совокупностью всех элементов r, таких что существует монический многочлен с корнями в I.
-
Проводник
- Проводник A в B состоит из элементов a, таких что aB ⊂ A.
- Проводник является наибольшим идеалом A, который также является идеалом B.
- Проводник определяет поддержку B/A в Спекуляции A.
-
Конечность интегрального замыкания
- Важный вопрос заключается в конечности интегрального замыкания конечно порожденной алгебры.
-
Интегральное замыкание дедекиндовой области
- Интегральное замыкание дедекиндовой области в конечном расширении поля дробей является дедекиндовой областью.
- Это следствие теоремы Крулля–Акизуки.
-
Интегральное замыкание нетеровой области
- Интегральное замыкание нетеровой области размерностью не более 2 является нетеровым.
- Нагата привел пример нетеровой области размерностью 3, интегральное замыкание которой не является нетеровым.
- Интегральное замыкание нетеровой области является областью Крулля.
-
Интегральное замыкание конечно порожденной алгебры
- Интегральное замыкание конечно порожденной алгебры над полем k в конечном расширении k является конечно порожденным A-модулем и конечно порожденной k-алгеброй.
- Результат обусловлен Нетер и может быть показан с помощью леммы о нормализации Нетер.
-
Интегральное замыкание полной локальной нетеровой области
- Интегральное замыкание полной локальной нетеровой области A в конечном расширении поля дробей A конечно над A.
-
Лемма о нормализации Нетер
- Лемма о нормализации Нетер утверждает, что в конечно порожденной K-алгебре A можно найти элементы, алгебраически независимые от K, такие, что A конечно по B = K [y1,…, ym].
-
Интегральные морфизмы
- В алгебраической геометрии морфизм f: X → Y является интегральным, если он аффинен и для каждого аффинного открытого покрытия Ui из Y, каждая карта f-1(Ui) → Ui имеет вид Спецификация(A) → Спецификация(B), где A – интегральная B-алгебра.
-
Абсолютное интегральное замыкание
- Интегральное замыкание A+ функции A в алгебраическом замыкании поля дробей из A называется абсолютным интегральным замыканием функции A.
- Оно уникально с точностью до неканонического изоморфизма.