Оглавление
- 1 Норма (математика)
- 1.1 Определение нормы
- 1.2 Полунорма и псевдонорма
- 1.3 Эквивалентные нормы
- 1.4 Примеры норм
- 1.5 Кватернионы и октонионы
- 1.6 Комплексно-нормированные пространства
- 1.7 Норма для такси или норма для Манхэттена
- 1.8 p-норма
- 1.9 Частная производная от p-нормы
- 1.10 Максимальная норма
- 1.11 Энергетическая норма
- 1.12 Нулевая норма
- 1.13 Расстояние Хэмминга вектора от нуля
- 1.14 Определение и свойства норм
- 1.15 Составные нормы и их свойства
- 1.16 Нормы в абстрактной алгебре
- 1.17 Свойства норм
- 1.18 Эквивалентность норм
- 1.19 Классификация полунорм
- 1.20 Определение полунормы
- 1.21 Локально выпуклые топологические векторные пространства
- 1.22 Применение метода
- 1.23 Другие понятия
- 1.24 Полный текст статьи:
- 2 Норма (математика)
Норма (математика)
-
Определение нормы
- Норма — это функция от векторного пространства к неотрицательным вещественным числам.
- Норма удовлетворяет неравенству треугольника и равна нулю только в начале координат.
- Евклидова норма — это норма в евклидовом векторном пространстве.
-
Полунорма и псевдонорма
- Полунорма удовлетворяет первым двум свойствам нормы, но может быть равна нулю для векторов, отличных от начала координат.
- Псевдонорма может удовлетворять тем же аксиомам, что и норма, но с неравенством вместо равенства.
-
Эквивалентные нормы
- Две нормы эквивалентны, если существуют положительные константы, такие что одна норма меньше или равна другой.
- Эквивалентные нормы определяют одну и ту же топологию на векторном пространстве.
-
Примеры норм
- Абсолютное значение является нормой в одномерном векторном пространстве.
- Евклидова норма в евклидовом пространстве определяется как квадратный корень из суммы квадратов координат вектора.
- Евклидова норма комплексных чисел — это их абсолютное значение.
-
Кватернионы и октонионы
- Канонические нормы для кватернионов и октонионов определяются как евклидовы нормы для соответствующих размерностей.
-
Комплексно-нормированные пространства
- Наиболее распространенная норма: ‖z‖ = |z1|2 + … + |zn|2 = z1z¯1 + … + znz¯n.
- Норма может быть выражена через внутреннее произведение вектора и самого себя: ‖x‖ = xH x.
- Для сложных пространств внутреннее произведение эквивалентно сложному скалярному произведению: ‖x‖ = x⋅x.
-
Норма для такси или норма для Манхэттена
- ‖x‖1 = ∑i=1n |xi|.
- Множество векторов с заданной константой образует поверхность поперечного многогранника.
- Норма 1 также называется ℓ1-норма.
-
p-норма
- ‖x‖p = (∑i=1n |xi|p)1/p.
- Для p=1 получаем норму для такси, для p=2 — евклидову норму.
- p-норма связана с обобщенным средним или степенным значением.
- Для p=2, ‖⋅‖2-норма индуцируется каноническим внутренним произведением.
-
Частная производная от p-нормы
- ∂∂xk ‖x‖p = xk|xk|p-2‖x‖p(p-1).
- Для p=2: ∂∂xk ‖x‖2 = xk‖x‖2.
-
Максимальная норма
- ‖x‖∞ = максимум (|x1|, … , |xn|).
- Множество векторов с заданной константой образует поверхность гиперкуба.
-
Энергетическая норма
- ‖x‖A = xT⋅A⋅x.
- Для единичной матрицы A норма соответствует евклидовой норме.
- Значение нормы зависит от спектра A.
-
Нулевая норма
- В вероятностном и функциональном анализе нулевая норма индуцирует полную метрическую топологию.
- Нулевая норма не является нормой в обычном смысле.
-
Расстояние Хэмминга вектора от нуля
- Дискретная метрика принимает значение единицы для различных точек и ноль в противном случае.
- Расстояние Хэмминга важно в кодировании и теории информации.
- Расстояние от нуля неоднородно в ненулевой точке, но удовлетворяет другим свойствам нормы.
-
Определение и свойства норм
- Норма — это функция, которая удовлетворяет неравенству обратного треугольника и является положительно однородной.
- Нулевая норма не является нормой, так как она не удовлетворяет всем свойствам.
- Бесконечномерные нормы обобщаются на ℓp и Lp пространства.
-
Составные нормы и их свойства
- Нормы могут быть сконструированы путем объединения различных норм.
- Для любой нормы и линейного преобразования можно определить новую норму.
- В 2D и 3D нормы могут давать разные единичные шары.
-
Нормы в абстрактной алгебре
- Теоретическая норма Галуа не является нормой, но её корень является нормой.
- В композиционных алгебрах норма удовлетворяет гомоморфизму.
-
Свойства норм
- Каждая норма является полунормой и удовлетворяет всем её свойствам.
- Каждая полунорма является сублинейной функцией и удовлетворяет всем её свойствам.
- Каждая норма является выпуклой функцией.
-
Эквивалентность норм
- Единичная окружность зависит от нормы.
- Две нормы эквивалентны, если они индуцируют одну и ту же топологию.
- В конечномерных пространствах все нормы эквивалентны, в бесконечномерных — нет.
-
Классификация полунорм
- Полунормы классифицируются по абсолютно выпуклым поглощающим множествам.
- Каждому подмножеству соответствует полунорма, называемая показателем этого подмножества.
-
Определение полунормы
- Полунорма pA(x) определяется как нижняя граница r, удовлетворяющая условию x ∈ rA.
- Полунорма разделяет точки: {x ∈ X: pA(x) < 1} ⊆ A ⊆ {x ∈ X: pA(x) ≤ 1}.
-
Локально выпуклые топологические векторные пространства
- Любое локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет локальный базис из абсолютно выпуклых множеств.
- Метод построения локального базиса использует семейство полунорм p, разделяющих точки.
- Совокупность конечных пересечений множеств {p < 1/n} превращает пространство в локально выпуклое.
-
Применение метода
- Метод используется для проектирования слабых и некачественных топологий.
-
Другие понятия
- Асимметричная норма — обобщение понятия нормы.
- F-полунорма — топологическое векторное пространство с метрическими страницами.
- Норма Гауэрса — класс норм в аддитивной комбинаторике.
- Норма Кадека — все бесконечномерные, разделимые банаховы пространства гомеоморфны.
- Спектральный анализ методом наименьших квадратов — метод вычисления периодичности.
- Расстояние Махаланобиса — статистическая мера расстояния.
- Величина (математическая) — свойство, определяющее сравнение и упорядочение.
- Матричная норма — норма в векторном пространстве матриц.
- Расстояние Минковского — математическая метрика в нормированном векторном пространстве.
- Функционал Минковского — функция, созданная на основе набора.
- Операторная норма — мера “размера” линейных операторов.
- Паранорм — топологическое векторное пространство с метрическими страницами.
- Соотношение норм и метрик — математическое пространство с удаленными страницами.
- Полунорма — математическая функция.
- Сублинейная функция — тип функции в линейной алгебре.