Оглавление
Нулевой идеал
-
Нулевые идеалы в коммутативных кольцах
- Нулевой идеал — это идеал, каждый элемент которого нильпотентен.
- Нильрадикал коммутативного кольца является максимальным нулевым идеалом.
- В коммутативных кольцах произведения и суммы нильпотентных элементов также нильпотентны.
-
Нулевые идеалы в некоммутативных кольцах
- В некоммутативных кольцах множество нильпотентных элементов не всегда образует идеал.
- Сумма нулевых идеалов в некоммутативных кольцах может не быть нулевым идеалом.
- Гипотеза Кете утверждает, что сумма двух левых нулевых идеалов снова является левым нулевым идеалом, но это остается открытой проблемой.
-
Связь с нильпотентными идеалами
- Нулевые идеалы связаны с нильпотентными идеалами, но не всегда совпадают.
- В правильных артиновых кольцах любой нулевой идеал нильпотентен.
- В правильных нетеровых кольцах это обобщается теоремой Левицкого.