Нули и полюса
-
Полюс и ноль функции
- Полюс функции f — это точка z0, где f(z0) = 0, а 1/f голоморфна в окрестности z0.
- Ноль функции f — это точка z0, где f(z0) = 0.
- Мероморфная функция имеет нули и полюсы, которые изолированы и имеют порядок.
-
Мероморфные функции
- Мероморфная функция в окрестности точки z0 имеет полюс порядка n, если n > 0, и ноль порядка |n|, если n < 0.
- Мероморфная функция на бесконечности имеет полюс порядка n, если n > 0, и ноль порядка |n|, если n < 0.
-
Примеры мероморфных функций
- Гамма-функция имеет простые полюса в каждом неположительном целом числе.
- Дзета-функция Римана имеет полюс порядка 1 при z = 1 и нули в левой полуплоскости.
-
Функции на комплексной кривой
- Понятие нулей и полюсов распространяется на функции на комплексной кривой.
- Функция голоморфна в окрестности точки z, если существует диаграмма, делающая f голоморфной в окрестности ϕ(z).
- Если кривая компактна, число нулей и полюсов конечно, а сумма порядков полюсов равна сумме порядков нулей.