Оглавление

Обширный линейный пучок

Линейные расслоения и их свойства
- Линейные расслоения на проективном многообразии могут быть положительными или отрицательными.
- Положительность связана с наличием множества глобальных сечений.
- Обширные линейные расслоения имеют положительную степень на каждой кривой.
Откат линейного расслоения
- Откат линейного расслоения — это линейный пучок того же ранга.
- Откат линейного пучка O(1) связан с гиперплоскостью в проективном пространстве.
Линейные пучки без базовых точек
- Линейный пучок без базовых точек имеет пустой базовый локус.
- Морфизм от X к Pn определяется выбором основы для H0(X, L).
- Линейные пучки без базовых точек могут быть выражены как откат O(1).
Nef, генерируемый во всем мире, полупродуктивный
- Степень линейного расслоения на кривой определяется как степень делителя ненулевого рационального сечения.
- Линейное расслоение без базовых точек на правильной схеме является nef.
- Линейный пучок генерируется глобально, если он не содержит базовых точек.
Очень широкие пучки лески
- Линейный пучок очень достаточен, если он не содержит базовых точек и является закрытым погружением.
- Очень обширный линейный пучок имеет положительную степень на каждой кривой в X.
Определение обширных обратимых пучков
- Обширные обратимые пучки определяются на квазикомпактных схемах.
- Для каждого s ∈ Γ(X, L) определяется Xs = {x ∈ X : sx ∉ mxLx}.
- Ограничение L|Xs является свободным OX-модулем.
- Xs всегда открыта и морфизм включения Xs → X является аффинным.
Достаточность обширных обратимых пучков
- L достаточно, если для каждого x ∈ X существует n ≥ 1 и s ∈ Γ(X, L⊗n) такой, что x ∈ Xs и Xs является аффинной схемой.
- Тривиальное линейное расслоение OX достаточно тогда и только тогда, когда X квазиаффинно.
Примеры и контрпримеры
- X = P2 ∖ {O} и L = OP2(1) | X: Xs не обязательно аффинны для всех s.
- X = P2 ∖ Z и L = OP2(1) | X: Xs не обязательно аффинны для всех s с n ≤ N.
Основные характеристики
- L достаточно тогда и только тогда, когда открытые множества Xs формируют основу для топологии X.
- G(ε) = X и морфизм G(ε) → Proj S является доминирующим открытым погружением.
- Для каждого квазикогерентного пучка F каноническая карта ⨁n≥0 Γ(X, F ⊗ OX L⊗n) ⊗ Z L⊗−n → F является сюръективной.
Правильные схемы
- L достаточно тогда и только тогда, когда существует целое положительное число r такое, что L⊗r очень обширно.
- Правильная схема над R имеет достаточное линейное расслоение тогда и только тогда, когда она проективна над R.
Обширные линейные расслоения на правильных схемах
- Обширное линейное расслоение на правильной схеме X над полем имеет положительную степень на каждой кривой в X.
- Делитель Картье D на правильной схеме X над полем k называется достаточным, если O(D) является достаточным.
Характеристики амплитуды
- Тензорирование высоких степеней обширного линейного пучка с когерентным пучком дает пучок со многими глобальными сечениями.
- Линейное расслоение L достаточно тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка F существует целое число s такое, что F ⊗ L⊗r генерируется глобально для всех r ≥ s.
- Линейное расслоение L достаточно тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка F существует целое число s такое, что для всех i > 0 и всех r ≥ s когомологии F⊗L⊗r в положительных степенях равны нулю.
Теорема об исчезновении Серра
- Линейный пучок O(1) на проективном многообразии не имеет базовых точек, но не является достаточным.
- Для морфизма f из проективного многообразия в проективное пространство, L = f∗O(1) не содержит базовых точек, если f конечен.
Примеры и не-примеры
- O(p) на гладкой проективной кривой рода 1 является достаточным, но не очень достаточным.
- O(2p) на гладкой проективной кривой рода 1 не содержит базовых точек, но не очень обширен.
- На кривых более высокого рода существуют линейные расслоения, для которых каждое глобальное сечение равно нулю.
Критерии для определения протяженности линейных пучков
- Теория пересечений: номер пересечения D⋅C может быть определен как степень линейного расслоения O(D).
- Первый класс Черна c1(L) означает соответствующий делитель Картье.
- Линейное расслоение на кривой является достаточным тогда и только тогда, когда оно имеет положительную степень.
Критерий Накаи–Мойшезона
- Линейное расслоение L на правильной схеме X является достаточным тогда и только тогда, когда ∫Y c1(L)dim(Y) > 0 для каждого замкнутого подмногообразия Y.
- Для кривой критерий гласит, что делитель достаточен тогда и только тогда, когда он имеет положительную степень.
- Для поверхности критерий гласит, что делитель достаточен тогда и только тогда, когда его число самопересечений D2 положительно, и каждая кривая C на X имеет D⋅C > 0.
Критерий Клеймана
- Линейное расслоение L на проективной схеме X является достаточным тогда и только тогда, когда L имеет положительную степень для каждого ненулевого элемента C замыкания конуса кривых NE(X) в N1(X).
- Критерий Клеймана не работает для правильных схем X над полем, но справедлив для гладких или Q-факториальных схем.
Строго nef и примеры
- Линейное расслоение на проективном многообразии называется строго nef, если оно имеет положительную степень на каждой кривой Нагаты.
- Примеры Нагаты и Мамфорда показывают, что условие c1(L)2 > 0 не может быть опущено в критерии Накаи–Мойшезона.
Открытость широты
- На проективной схеме X критерий Клеймана подразумевает, что амплитуда является открытым условием для класса R-делителя в N1(X).
- Амплитуда также является открытым условием при варьировании многообразия или линейного расслоения в алгебраическом семействе.
Другие характеристики обширности
- Клейман доказал, что L является достаточным тогда и только тогда, когда для каждого неприводимого подмногообразия Y существует положительное целое число r и сечение s ∈ H0(Y, L⊗r), которое не равно тождественно нулю, но обращается в нуль в некоторой точке Y.
- Для каждого неприводимого подмногообразия Y при положительной размерности голоморфные эйлеровы характеристики степеней L на Y уходят в бесконечность.
Обобщения
- Робин Хартшорн определил векторное расслоение F на проективной схеме X как достаточное, если линейное расслоение O(1) в пространстве P(F) числа гиперплоскостей в F достаточно.
- Векторное расслоение F является достаточным тогда и только тогда, когда высокие симметричные степени F уничтожают когомологии Hi из когерентных пучков для всех i > 0.
Обширные векторные расслоения
- Имеют положительную степень на каждом r-мерном подмногообразии X для 1 ≤ r ≤ ранг(F).
Большие линейные пучки
- Линейное расслоение L на проективном многообразии X называется большим, если существует положительное число a и j0 такое, что h0(X, L⊗j) ≥ aj^n для всех j ≥ j0.
- Это максимально возможная скорость роста для пространств сечений степеней L.
- Линейный пучок L является большим тогда и только тогда, когда существует целое положительное число r, такое, что рациональное отображение из X в P(H0(X, L⊗r)) бирационально по отношению к своему изображению.
- Линейный пучок L является большим тогда и только тогда, когда он имеет положительную тензорную мощность, которая является тензорным произведением большого линейного пучка A и эффективного линейного пучка B.
- Линейный пучок L является большим тогда и только тогда, когда его класс в N1(X) находится внутри конуса эффективных делителей.
Относительная амплитуда
- Задан квазикомпактный морфизм схем f: X → S, обратимый пучок L на X называется достаточным относительно f или f-достаточным, если выполняются определенные условия.
- Условие 1: для каждого открытого аффинного подмножества U ⊂ S, ограничение L на f−1(U) является достаточным.
- Условие 2: f является квазиотделенным и имеет место открытое погружение X ↪ Проект S(R), где R := f∗(⨁0∞L⊗n).
Примеры и приложения
- Пример: делитель H + E велик, но недостаточен для X, так как его базовый локус содержит кривую E.
- Относительная амплитуда используется в алгебраической геометрии проективных пространств и в общей алгебраической геометрии.

Полный текст статьи:

Обширный комплект проводов

Обширный комплект проводов

Обширный линейный пучок

Линейные расслоения и их свойства

Откат линейного расслоения

Линейные пучки без базовых точек

Nef, генерируемый во всем мире, полупродуктивный

Очень широкие пучки лески

Определение обширных обратимых пучков

Достаточность обширных обратимых пучков

Примеры и контрпримеры

Основные характеристики

Правильные схемы

Обширные линейные расслоения на правильных схемах

Характеристики амплитуды

Теорема об исчезновении Серра

Примеры и не-примеры

Критерии для определения протяженности линейных пучков

Критерий Накаи–Мойшезона

Критерий Клеймана

Строго nef и примеры

Открытость широты

Другие характеристики обширности

Обобщения

Обширные векторные расслоения

Большие линейные пучки

Относительная амплитуда

Примеры и приложения

Полный текст статьи:

Обширный комплект проводов

Похожие статьи:

Оставьте комментарий Отменить ответ